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| Aufgabe | Sei [mm] f(x)=x^{3}+4x^{2}+5x+2008. [/mm] Bestimmen sie die Taylorentwicklung von f um den Punkt -1
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Guten Tag allerseits,
Hier meine Frage zur oben stehenden Aufgabe:
Was soll das genau heißen? Wenn ich jeweils die Ableitungen bilde und die Funktion durch das Taylorpolynom approximiere, erhalte ich die gleiche Funktion wieder....ist ja auch klar, denn die Funktion ist ja selber ein Polynom.
[mm] f'(x)=3x^{2}+8x+5 [/mm] => f'(-1)=0
f''(x)=6x+8 => f''(-1)=2
f'''(x)=6 => f'''(-1)=6
Für die Taylorentwicklung gilt jetzt:
f(x)=Q(x)+"Restglied" (das gibt es doch hier nicht, weil die Funktion ja eigentlich nicht angenähert wird, sondern wirklich exakt beschrieben wird, oder?)
Q(x)=2006+0(x+1)+(x+1)²++(x+1)³
=> Q(x)= 2008+4x²+x³+5x
Das ist eben genau die Funktion....ich vermute, ich habe irgendwie die Aufgabenstellung falsch verstanden....oder soll das schon die Lösung sein?
Ich wünsche euch allen einen guten Rutsch und ein frohes neues Jahr mit vielen schönen Matheaufgaben
:)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Fr 30.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]f(x)=x^{3}+4x^{2}+5x+2008.[/mm] Bestimmen sie die
> Taylorentwicklung von f um den Punkt -1
>
> Guten Tag allerseits,
> Hier meine Frage zur oben stehenden Aufgabe:
>
>
> Was soll das genau heißen? Wenn ich jeweils die Ableitungen
> bilde und die Funktion durch das Taylorpolynom
> approximiere, erhalte ich die gleiche Funktion
> wieder....ist ja auch klar, denn die Funktion ist ja selber
> ein Polynom.
Genau.
> [mm]f'(x)=3x^{2}+8x+5[/mm] => f'(-1)=0
> f''(x)=6x+8 => f''(-1)=2
> f'''(x)=6 => f'''(-1)=6
>
> Für die Taylorentwicklung gilt jetzt:
> f(x)=Q(x)+"Restglied" (das gibt es doch hier nicht, weil
> die Funktion ja eigentlich nicht angenähert wird, sondern
> wirklich exakt beschrieben wird, oder?)
>
> Q(x)=2006+0(x+1)+(x+1)²+(x+1)³
> => Q(x)= 2008+4x²+x³+5x
Exakt :) Du kannst natuerlich auch noch formal das Restglied ausrechnen, siehst dann aber gleich das es 0 ist. (Schliesslich ist [mm] $f^{(4)} \equiv [/mm] 0$.)
> Das ist eben genau die Funktion....ich vermute, ich habe
> irgendwie die Aufgabenstellung falsch verstanden....oder
> soll das schon die Lösung sein?
Ja, das ist die Loesung.
Bei Polynomen kannst du die Taylorentwicklung (um [mm] $x_0 [/mm] = -1$) auch so ausrechnen, indem du $f(x) = f((x + 1) - 1)$ schreibst und dann ausmultiplizierst (abgesehen von $(x+1)$, das bitte so lassen).
> Ich wünsche euch allen einen guten Rutsch und ein frohes
> neues Jahr mit vielen schönen Matheaufgaben
Das wuensch ich dir auch. Hoffentlich siehst du das jetzt nicht als Drohung *g*
LG Felix
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