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Taylorentwicklung: Fehler im Skript?!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Fr 07.04.2006
Autor: marthasmith

Aufgabe
Im Skript steht:

$y''(x) = [mm] \frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2} [/mm] + [mm] O(h^2)$ [/mm]

Doch ich denke, dass es [mm] O(h^3) [/mm] sein müsste?!

Hallihallo,

ich habe das einfach mal nachgerechnet und:

$y(x+h) = y(x) + hy'(x) + [mm] \frac{h^2}{2}y''(x) [/mm] + [mm] O(h^3) [/mm] $

[mm] $\Rightarrow \frac{h^2}{2}y''(x) [/mm] = y(x+h) -y(x) -hy'(x) [mm] +O(h^3)$ [/mm]

$y(x-h) = y(x) - hy'(x) + [mm] \frac{h^2}{2}y''(x) [/mm] + [mm] O(h^3) [/mm] $

[mm] $\Rightarrow \frac{h^2}{2}y''(x) [/mm] = y(x-h) -y(x) + hy'(x) [mm] +O(h^3)$ [/mm]


Addition liefert:

$y''(x) = [mm] \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h) }{h^2} [/mm] + [mm] O(h^3)$ [/mm]

Liege ich falsch, oder das Skript?

Gruß

Alice

        
Bezug
Taylorentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Fr 07.04.2006
Autor: felixf

Hallo Alice!

> Im Skript steht:
>  
> [mm]y''(x) = \frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2} + O(h^2)[/mm]
>  
> Doch ich denke, dass es [mm]O(h^3)[/mm] sein müsste?!
>  Hallihallo,
>  
> ich habe das einfach mal nachgerechnet und:
>  
> [mm]y(x+h) = y(x) + hy'(x) + \frac{h^2}{2}y''(x) + O(h^3)[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \frac{h^2}{2}y''(x) = y(x+h) -y(x) -hy'(x) +O(h^3)[/mm]
>  
> [mm]y(x-h) = y(x) - hy'(x) + \frac{h^2}{2}y''(x) + O(h^3)[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \frac{h^2}{2}y''(x) = y(x-h) -y(x) + hy'(x) +O(h^3)[/mm]
>  
>
> Addition liefert:

Erstmal liefert die Addition [mm] $h^2 [/mm] y''(x) = y(x+h) - 2y(x) + y(x-h) + [mm] O(h^3)$. [/mm] Das ist aequivalent zu [mm] $h^2 [/mm] y''(x) - y(x+h) + 2y(x) - y(x-h) [mm] \in O(h^3)$, [/mm] also zu [mm] $\left|\lim_{x\to\infty} \frac{h^2 y''(x) - y(x+h) + 2y(x) - y(x-h)}{h^3}\right| [/mm] < [mm] \infty$. [/mm]

Das ist aber gleich [mm] $\left|\lim_{x\to\infty} \frac{y''(x) - \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2}}{h}\right| [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] also zu $y''(x) - [mm] \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2} \in [/mm] O(h)$. Also hast du erstmal nur $y''(x) = [mm] \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h)}{h^2} [/mm] + O(h)$, und nicht etwa

> [mm]y''(x) = \frac{y(x+h) - 2y(x) + y(x-h) }{h^2} + O(h^3)[/mm]

Nun zur Frage, wo du das [mm] $O(h^2)$ [/mm] aus der Aufgabe herbekommen kannst. Dazu mach doch einfach mal eine Taylorentwicklung bis zum Grad 3 und nicht nur bis zum Grad 2! Die Terme vorm [mm] $h^3$ [/mm] kuerzen sich (genauso wie die vorm $h$) weg, womit du anstatt des [mm] $O(h^3)$ [/mm] ein [mm] $O(h^4)$ [/mm] bekommst! Wenn du jetzt durch [mm] $h^2$ [/mm] teilst, bleibt also gerade das [mm] $O(h^2)$ [/mm] aus der Aufgabenstellung ueber!

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Taylorentwicklung: nachgerechnet
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:00 Sa 08.04.2006
Autor: marthasmith

Hallo Felix,

ich habe das selber nochmal nachgerechnet und nun haut es auch hin.

Vielen Dank,

Alice

Bezug
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