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| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm] A,B\in\IR [/mm] derart, dass die Kurven
[mm] y_{1}(x)=x\wurzel{\bruch{1+x}{1-x}} [/mm] und
[mm] y_{2}(x)=A(e^{Bx}-1)
[/mm]
in der Taylorentwicklung um [mm] x_{0}=0 [/mm] bis zu möglichst hohen Potenzen von x übereinstimmen! |
Hallo ihr,
ich steh schon einige Zeit in Konflikt mit diesem Beispiel. Ich kann mir leider nicht genau vorstellen, wie der richtige Lösungsansatz lautet. Ich hab schon in mehreren Büchern nachgeschaut, aber immer nur allgemeine (einfache) Beispiele zu Taylorreihen gefunden. Nichts Komplexeres.
Meine Idee war anfangs eine Taylorreihe bis zum 6. Glied zu entwickeln, dh von beiden Funktionen 6 Ableitungen zu berechnen und diese in die Taylorreihe zu implementieren. Danach habe ich für f(x) versucht ein paar y-Werte um x=0 zu berechnen. Schließlich habe ich die ausgewählten x-Werte in g(x) eingesetzt und versucht A und B durch Schätzen so anzunähren, dass bzw. dass fast der gleiche y-Wert rauskommt.
Irgendwie hab ich das Gefühl, dass diese Variante sehr umständlich ist. Ich weiß auch nicht mal, ob so etwas verlangt wird. Es gibt bestimmt eine einfachere Variante ... nur welche? Ich freu mich daher auf ein paar heiße Tipps und Lösungsvorschläge.
Gruß, brauni
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Vorschlag 1
Wenn du mit Potenzreihen umgehen kannst, insbesondere die Binomische Reihe kennst, kannst du die erste Funktion in eine Potenzreihe entwickeln. Mit etwas Fleiß erhältst du:
[mm]y_1(x) = x \, \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{4^k} {{2k} \choose k} \left( x^{2k+1} + x^{2k+2} \right)[/mm]
Für die zweite Funktion geht das einfacher:
[mm]y_2(x) = \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{A \cdot B^k}{k!} \, x^k[/mm]
Und ein Vergleich der ersten beiden Glieder liefert dir ein Gleichungssystem für [mm]A,B[/mm], das sich leicht lösen läßt.
Vorschlag 2
Wenn du mit Potenzreihen nicht so vertraut bist, geht es auch mit den Ableitungen. Es genügt dabei, die ersten beiden Ableitungen von [mm]y_1(x)[/mm] und [mm]y_2(x)[/mm] zu berechnen und ihre Werte bei [mm]x=0[/mm] zu vergleichen. Um den Rechenaufwand zu verringern, ist es vielleicht geschickt, die [mm]n[/mm]-te Ableitung von [mm]y_1(x)[/mm] in der Form
[mm]y_1^{(n)} = p_n(x) \cdot (1+x)^{- \frac{2n-1}{2}} \cdot (1-x)^{- \frac{2n+1}{2}}[/mm] mit einem geeigneten Polynom [mm]p_n(x)[/mm]
zu schreiben. Beachte die Produktregel [mm](uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'[/mm]. Wenn man etwas mehr will, kann man sogar die folgende rekursive Beziehung für die [mm]p_n(x)[/mm] finden:
[mm]p_0(x) = x \, , \ \ p_n(x) = (1-x^2) \, p_{n-1}'(x) + \left( 2(n-1) \, x + 1 \right) p_{n-1}(x)[/mm] für [mm]n \geq 1[/mm]
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