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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Di 13.02.2007 | | Autor: | ex.aveal |
Hallo.
Es geht um eine Aufgabe, in der man das Taylorpolynom [mm] \summe_{k=0}^{3} a_{k}(x+1)^{k} [/mm] = [mm] p_{3}(x) [/mm] der Funktion [mm] f(x)=x^{4}-2x³+x-1 [/mm] bestimmen soll.
Ich hock hier vor meinem Skript und versteh wirklich garnichts. Ich habe die Lösung auch hier vorliegen, und bei der wurde mit der Folge [mm] a_{k}=\bruch{f^{k}(-1)}{k!} [/mm] gearbeitet, aber wie kommt man überhaupt schon darauf?
Wäre super, wenn mir jemand vllt Tipps geben könnte, wie ich überhaupt an die Aufgabe rangehen muss, und was ich beachten muss.
die Ableitungen sind...
1. f(x)=4x³-6x²+1
2. f(x)=12x²-12x
3. f(x)=24x-12
mehr habe ich leider selber nicht zusammen gebracht :\ Ich weiß, das ist nicht viel, aber ich probier hier schon ewig rum, und komme auf garnichts. Hocke irgendwie total aufm Schlauch.
Dankeschön schonma, für den Aufwand!
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> Es geht um eine Aufgabe, in der man das Taylorpolynom
> [mm]\summe_{k=0}^{3} a_{k}(x+1)^{k}[/mm] = [mm]p_{3}(x)[/mm] der Funktion
> [mm]f(x)=x^{4}-2x³+x-1[/mm] bestimmen soll.
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> Ich hock hier vor meinem Skript und versteh wirklich
> garnichts. Ich habe die Lösung auch hier vorliegen, und bei
> der wurde mit der Folge [mm]a_{k}=\bruch{f^{k}(-1)}{k!}[/mm]
> gearbeitet, aber wie kommt man überhaupt schon darauf?
Hallo,
ich werde hier jetzt nicht die ganze Taylorgeschichte aufrollen, das arbeitest Du am besten anhand eines Buches nach, einen ersten Überblick bekommst Du ![[]](/images/popup.gif) hier.
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> Wäre super, wenn mir jemand vllt Tipps geben könnte, wie
> ich überhaupt an die Aufgabe rangehen muss, und was ich
> beachten muss.
Ich werde Dir soweit helfen, daß Du die Aufgabe bearbeiten kannst. Gesucht ist das dritte (die Summe läuft bis 3) Taylorpolynom von f an der Stelle -1 [mm] ((x+1)^k),
[/mm]
also (*) [mm] T_3(x)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^{k}(-1)}{k!}(x+1)^k.
[/mm]
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> die Ableitungen sind...
Richtig, dafür brauchst Du die Ableitungen, und zwar bis zur dritten.
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> 1. f(x)=4x³-6x²+1
> 2. f'(x)=12x²-12x
> 3. [mm] f^{(2)}(x)=24x-12
[/mm]
4. [mm] f^{(3)}(x)=...
[/mm]
f(-1)=...
f'(-1)=...
...
...
Und nun mußt Du eigentlich nur noch in (*) einsetzen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Di 13.02.2007 | | Autor: | ex.aveal |
super! dankeschön. Meine Frage war etwas sehr unverständlich, aber ich habe es jetzt verstanden. Mich hat es durcheinander gebracht, weil ich jetzt erst verstanden habe, dass ich den entwicklungspunkt einsetzen muss.
Konnte die Aufgabe nun recht leicht herunterrechnen, und kam auch gleich auf das Ergebnis. Ich war wohl etwas voreilig. Will mich dafür entschuldigen.
Aber ich hätte noch eine Frage, zu folgender Aufgabe, und ob das Ergebnis richtig ist:
Man soll das Taylorpolynom 2-ten Grades bestimmten von der Funktion [mm] f(t)=e^{cos(t)} [/mm] und [mm] x_{0}=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Nun habe ich erstmal die Ableitungen ausgerechnet und die Werte durch Einsetzen des Enwicklungspunktes erhalten:
[mm] f(\bruch{\pi}{2})=1
[/mm]
[mm] f^{|}(\bruch{\pi}{2})=-1
[/mm]
[mm] f^{||}(\bruch{\pi}{2})=1
[/mm]
somit: [mm] T_{2}(t)=1-1(t-\bruch{\pi}{2})+\bruch{1}{2}(t-\bruch{\pi}{2})²
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{2}\bruch{f^{k}(\bruch{\pi}{2})}{k!}(t-\bruch{\pi}{2})^{k}
[/mm]
Ist das richtig? Wenn nicht, wieso? Bin mir noch etwas unsicher.
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> Aber ich hätte noch eine Frage, zu folgender Aufgabe, und
> ob das Ergebnis richtig ist:
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> Man soll das Taylorpolynom 2-ten Grades bestimmten von der
> Funktion [mm]f(t)=e^{cos(t)}[/mm] und [mm]x_{0}=\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Nun habe ich erstmal die Ableitungen ausgerechnet und die
> Werte durch Einsetzen des Enwicklungspunktes erhalten:
>
> [mm]f(\bruch{\pi}{2})=1[/mm]
> [mm]f^{|}(\bruch{\pi}{2})=-1[/mm]
> [mm]f^{||}(\bruch{\pi}{2})=1[/mm]
>
> somit:
> [mm]T_{2}(t)=1-1(t-\bruch{\pi}{2})+\bruch{1}{2}(t-\bruch{\pi}{2})²[/mm]
>
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{2}\bruch{f^{k}(\bruch{\pi}{2})}{k!}(t-\bruch{\pi}{2})^{k}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Es ist richtig.
Dieses Polynom nähert die Funktion im Punkt [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] an, wenn Du die Möglichkeit zum Plotten hast, kannst Du das sehen.
Gruß v. Angela
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