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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Di 28.04.2009 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | Der Grad des Taylorpolynoms eines Polynoms f an einer Stelle a kann kleiner sein als der von f.
Aufgabe: Stimmt diese Aussage? |
Wir haben das Taylorpolynom in der Vorlesung gerade eingeführt und ich habe das Gefühl noch nicht so richtig verstanden zu haben wozu man das benutzt und wie genau.
ich weiss folgendes: für (n+1) mal stetig diffbares f heisst
[mm] f(a)+\bruch{f'(a)}{1!}(x-a)+....+\bruch{f^{(n)}}{n!}(x-a)^{n}
[/mm]
das Taylorpolynom n-ten Grades von f im Entwicklungspunkt a.und ich weiss dass ich jede funktion die (n+1) mal stetig diffbar ist durch ein solches Taylorpolynom und ein Restglied darstellen kann.
ich hab bis jetzt gehört dass ich das taylorpolynom benutze um mich an eine funktion anzunähern.
die frage ist nun aber : muss ich diese annäherung soweit machen bis die ableitungen null sind, sprich muss [mm] \bruch{f^{(n)}}{n!}(x-a)^{n} [/mm] mein letztes glied im taylorpolynom sein oder kann ich auch schon vorher aufhören? wenn ich immer bis dahin gehen muss,dann kann das taylorpolynom doch gar nicht kleiner als grad n werden oder kann ich irgendwie die n-te ableitung auf Null bekommen?Die n-te ableitung müsste doch eine konstante ungleich Null sein,sonst wär f ja nicht n+1 mal diffbar . ODER???
Danke.
briddi
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Hallo
Du solltest dir die Sache mit dem Taylorpolynom nochmal anschauen und dabei folgende Punkte bedenken:
- Mittels eines Taylorpolynoms approximierst du lokal, d.h. in der Umgebung eines Punktes deine Funktion f.
- Dabei hängt es von dir und deiner Funktion f ab wie gut du sie approximieren möchtest bzw. kannst. D.h. also, von wievielter Ordnung die Approximation sein soll.
- Bedenke nun für eine Polynomfunktion: Es gibt ein [mm] n\in\IN [/mm] so dass [mm] f^{n+1}(x)=0 [/mm] für alle [mm] x\in$D$.Warum? [/mm] Was lässt sich dann über die Taylorapproximation sagen?
Grüße Elvis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 28.04.2009 | | Autor: | briddi |
> - Dabei hängt es von dir und deiner Funktion f ab wie gut
> du sie approximieren möchtest bzw. kannst. D.h. also, von
> wievielter Ordnung die Approximation sein soll.
Das heisst dann also dass ich mein taylorpolynom doch beliebig wählen kann,also auch kleineren grades als n, wenn f n-ten grades ist? hab ich das richtig verstanden?
> - Bedenke nun für eine Polynomfunktion: Es gibt ein
> [mm]n\in\IN[/mm] so dass [mm]f^{n+1}(x)=0[/mm] für alle [mm]x\in[/mm] [mm]D[/mm].Warum?
das gibt es doch,weil mit jeder ableitung der grad um 1 kleiner wird,also haben wir irgendwann ein konstantes polynom und dann null, an allen stellen der funktion.
Was
> lässt sich dann über die Taylorapproximation sagen?
>
das taylorpolynom bricht dann doch sozusagen ab,weil alle ableitungen null sind ab einem n und die ableitungen als faktor in den entsprechenden summanden vorkommmen, wodruch die summanden null werden.
ich kann mir aber einfach grad keine funktion mit grad n vorstellen ,deren n-te ableitung null ist,also ist doch der letzte summand des taylorpolynoms immer
[mm] \bruch{f^{(n)}}{n!} [/mm] (x-a)
das wiederum hiesse aber dass das taylorpolynom immer n-ten grades ist...
irgendwo ist doch was falsch,entweder bei dieser überlegung oder bei der ersten bemerkung in diesem beitrag...
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> Das heisst dann also dass ich mein taylorpolynom doch
> beliebig wählen kann,also auch kleineren grades als n, wenn
> f n-ten grades ist? hab ich das richtig verstanden?
Es hängt immer von der Fragestellung ab, von wievielter Ordnung du eine Funktion mittels deines Taylorpolynoms approximierst.
Aber, zu deiner Frage: Ja, das kannst du in der Tat.
> das gibt es doch,weil mit jeder ableitung der grad um 1
> kleiner wird,also haben wir irgendwann ein konstantes
> polynom und dann null, an allen stellen der funktion.
genau.
> das taylorpolynom bricht dann doch sozusagen ab,weil alle
> ableitungen null sind ab einem n und die ableitungen als
> faktor in den entsprechenden summanden vorkommmen, wodruch
> die summanden null werden.
genau.
> ich kann mir aber einfach grad keine funktion mit grad n
> vorstellen ,deren n-te ableitung null ist,also ist doch der
> letzte summand des taylorpolynoms immer
> [mm]\bruch{f^{(n)}}{n!}[/mm] (x-a)
> das wiederum hiesse aber dass das taylorpolynom immer
> n-ten grades ist...
> irgendwo ist doch was falsch,entweder bei dieser
> überlegung oder bei der ersten bemerkung in diesem
> beitrag...
Eine Polynomialfunktion n-ten Grades hat im Allgemeinen keine n-te Ableitung die Null ist.
Betrachte die Funktion [mm] f(x)=x^2 \Rightarrow f''(x)=2\not=0
[/mm]
Insofern ist es gut, dass du dir keine vorstellen kannst. 
Gruß Elvis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Di 28.04.2009 | | Autor: | briddi |
tut mir ja schon fast leid dass ich nochmal frage,aber ich bin mir immer noch nicht sicher:
die ursprüngliche frage war ja :der grad eines taylorpolynoms kann kleiner sein als der grad von f
dann kann ich die frage jetzt mit ja beantworten,weil ich die approximation soweit machen kann wie ich möchte,also auch kleineren grades. würde ich aber die genaueste approximation haben wollen,würde ich mein taylorpolynom so gut wie möglich machen,also bis alle ableitungen null wären,die ich einsetze. was dann zur folge hätte dass der grad des talorpolynoms n wäre. (da ich diese einschränkung aber nicht habe,dass das das beste taylorpolynom sein soll,kann ich meine frage mit ja beantworten,richtig???)
Schönen abend noch und danke vielmals
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Hallo.
Ich würde diese Frage mit ja beantworten.
Sofern man unter f eine polynomiale Funktion versteht. Andernfalls macht es keinen Sinn vom "Grad von f" zu sprechen.
Grüße Elvis
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