Taylorpolynom 2. Ordnung < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Di 14.06.2016 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Gegeben sei f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] definiert durch f(x) = [mm] e^{sin x}
[/mm]
a) Geben Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung von f im Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] an.
b) Bestimmen Sie mit Hilfe von a) eine Nährung für [mm] f(\bruch{3\pi}{8}) [/mm] und zeigen Sie, dass der Fehler dabei höchstens [mm] \bruch{5e}{6}*(\bruch{\pi}{8})^3 [/mm] beträgt |
Hallo,
ich habe mir zunächst die Ableitungen notiert:
f(x) = [mm] e^{sin (x)}
[/mm]
f´(x) = [mm] e^{sin (x)}cos(x)
[/mm]
f´´(x) = [mm] e^{sin (x)}cos^2(x) [/mm] - [mm] e^{sin (x)}sin(x)
[/mm]
Dann habe ich mir die allgemeine Form aufgeschrieben:
[mm] \summe_{n=0}^{2} \bruch{f^n(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n
[/mm]
= [mm] \bruch{f^0(x_{0})}{0!}(x-x_{0})^0 [/mm] + [mm] \bruch{f^1(x_{0})}{1!}(x-x_{0})^1 [/mm] + [mm] \bruch{f^2(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2
[/mm]
An dieser Stelle würde ich nun die verschiedenen Werte einsetzten - ist das bis hier soweit richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Di 14.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] definiert durch f(x) = [mm]e^{sin x}[/mm]
>
> Geben Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung von f im
> Entwicklungspunkt [mm]x_{0}[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] an.
> Hallo,
>
> ich habe mir zunächst die Ableitungen notiert:
>
> f(x) = [mm]e^{sin (x)}[/mm]
> f´(x) = [mm]e^{sin (x)}cos(x)[/mm]
> f´´(x) =
> [mm]e^{sin (x)}cos^2(x)[/mm] - [mm]e^{sin (x)}sin(x)[/mm]
>
> Dann habe ich mir die allgemeine Form aufgeschrieben:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{2} \bruch{f^n(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n[/mm]
>
> = [mm]\bruch{f^0(x_{0})}{0!}(x-x_{0})^0[/mm] +
> [mm]\bruch{f^1(x_{0})}{1!}(x-x_{0})^1[/mm] +
> [mm]\bruch{f^2(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2[/mm]
>
> An dieser Stelle würde ich nun die verschiedenen Werte
> einsetzten - ist das bis hier soweit richtig ?
>
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mi 15.06.2016 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo Fred,
vielen Dank für die schnelle Antwort!
$ [mm] \bruch{f^0(x_{0})}{0!}(x-x_{0})^0 [/mm] $ + $ [mm] \bruch{f^1(x_{0})}{1!}(x-x_{0})^1 [/mm] $ + $ [mm] \bruch{f^2(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2 [/mm] $
Nachdem ich die Werte dann eingesetzt habe, habe ich folgendes auf meinem Blatt stehen:
[mm] e^{sin(\bruch{\pi}{2})} [/mm] + [mm] e^{sin(\bruch{\pi}{2})} [/mm] * [mm] cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] * (x - [mm] (\bruch{\pi}{2})) [/mm] + [mm] \bruch{e^{sin(\bruch{\pi}{2})}*cos^2(\bruch{\pi}{2})-e^{sin(\bruch{\pi}{2})}*sin(\bruch{\pi}{2})*(x - (\bruch{\pi}{2})^2}{2}
[/mm]
Ist das so in Ordnung? Was kann ich ggf. noch verändern ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mi 15.06.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo Fred,
>
> vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> [mm]\bruch{f^0(x_{0})}{0!}(x-x_{0})^0[/mm] +
> [mm]\bruch{f^1(x_{0})}{1!}(x-x_{0})^1[/mm] +
> [mm]\bruch{f^2(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2[/mm]
>
> Nachdem ich die Werte dann eingesetzt habe, habe ich
> folgendes auf meinem Blatt stehen:
>
> [mm]e^{sin(\bruch{\pi}{2})}[/mm] + [mm]e^{sin(\bruch{\pi}{2})}[/mm] *
> [mm]cos(\bruch{\pi}{2})[/mm] * (x - [mm](\bruch{\pi}{2}))[/mm] +
> [mm]\bruch{e^{sin(\bruch{\pi}{2})}*cos^2(\bruch{\pi}{2})-e^{sin(\bruch{\pi}{2})}*sin(\bruch{\pi}{2})*(x - (\bruch{\pi}{2})^2}{2}[/mm]
>
> Ist das so in Ordnung? Was kann ich ggf. noch verändern ?
Naja, [mm] $\sin(\pi/2)=1$ [/mm] und [mm] $\cos(\pi/2)=0$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 So 19.06.2016 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo Chris84,
vielen Dank für die Antwort!
Hier einmal mein neuer Lösungsvorschlag:
[mm] e^{sin(\bruch{\pi}{2})} [/mm] + [mm] e^{sin(\bruch{\pi}{2})} [/mm] * [mm] cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] * (x - [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] + [mm] \bruch{e^{sin(\bruch{\pi}{2})}\cdot{}cos^2(\bruch{\pi}{2})-e^{sin(\bruch{\pi}{2})}\cdot{}sin(\bruch{\pi}{2})\cdot{}(x - (\bruch{\pi}{2})^2}{2}
[/mm]
= [mm] e^{1} [/mm] + [mm] e^{1} [/mm] * 0 * (x - [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] + [mm] \bruch{e^{1}*cos^2(\bruch{\pi}{2})-e^{1}*1*(x-\bruch{\pi}{2})^2}{2}
[/mm]
= e + [mm] \bruch{e * cos^2(\bruch{\pi}{2})-e * (x-\bruch{\pi}{2})^2}{2}
[/mm]
Ist meine Lösung nun so in Ordnung?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 So 19.06.2016 | | Autor: | chrisno |
Die Lösung stimmt so nicht. Es ist Dir schön früher das [mm] $(x-x_o)^2$ [/mm] verloren gegangen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Do 15.12.2016 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo zusammen,
zu a)
Ich bin nun auf folgendes Ergebnis gekommen:
[mm] P_{2}(x) [/mm] = e - [mm] \bruch{e}{2}*(x-\bruch{\pi}{2})^2
[/mm]
Ist das nun so in Ordnung?
zu b)
ich verstehe das so, dass ich [mm] R_{n}(x. x_{0}) [/mm] bestimmen möchte .
Dazu kann ich doch folgende Gleichung nutzen:
[mm] |R_{n}(x. x_{0})| \le \bruch{|f^{n+1}(x_{0})|}{(n+1)!}*(x-x_{0})^{n+1}
[/mm]
Oftmals findet man aber auch:
[mm] |R_{n}(x. x_{0})| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{24}*f^{n+1}(x_{0})*(x-x_{0})^{n+1}|
[/mm]
Hier ist mir nun nich klar, wann ich welche Gleichung nutze?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Do 15.12.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
1, steht da nicht [mm] f^{n+1} (x_0) [/mm] sondern [mm] f^{n+1} (\xi) [/mm] mit [mm] \xi [/mm] aus dem Intervall (a-r,a+r) wenn du den Fehler in diesem Intervall brauchst.
Die 24 im Nenner ist einfach 4! also nicht bei [mm] R_n [/mm] sondern nur bei [mm] R_3 [/mm] richtig.
um R abzuschätzen musst du den maximalen Wert von [mm] f^{n+1} (\xi) [/mm] im gefragten Intervall einsetzen.
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Di 27.12.2016 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo leduart,
vielen Dank für die Antwort!
laut Aufgabenstellung Teil a) sollte ich ja das Taylorpolynom 2. Ordnung angeben, was ich bereits gemacht habe.
Verstehe ich es richtig, dass ich nun [mm] R_{3} [/mm] haben möchte ?
Lautet die Gleichung dann: [mm] R_{3} [/mm] = [mm] \bruch{f^{4}(\xi)}{4!}(x-x_{0})^{4} [/mm] ?
Vielen Dank!
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Hallo,
> laut Aufgabenstellung Teil a) sollte ich ja das
> Taylorpolynom 2. Ordnung angeben, was ich bereits gemacht
> habe.
>
> Verstehe ich es richtig, dass ich nun [mm]R_{3}[/mm] haben möchte
> ?
Das verstehst du falsch. Zum Taylorpolynom 2. Ordnung gehört schon auch das Restglied 2. Orndung.
> Lautet die Gleichung dann: [mm]R_{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{4}(\xi)}{4!}(x-x_{0})^{4}[/mm] ?
>
Wenn das eine Lagrangesches Restglied werden soll, überall 1 abziehen (also: bei der Nummer des Restglieds, bei der Ableitung, der Fakultät sowie dem Exponenten).
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Do 05.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort!
Ich blicke leider immer noch nicht so wirklich durch :(
Ich würde zunächst die 3. Ableitung der Funktion bilden und dann folgendes schreiben [mm] R_{2} [/mm] = [mm] \bruch{f^{3}(\xi)}{3!}(x-x_{0})^{3}
[/mm]
Nun würde ich für die Nährung den gestellten Wert von [mm] \bruch{3\pi}{8} [/mm] einsetzten und ausrechnen.
Der Fehler wäre dann doch [mm] \xi \in {x,x_{0}}
[/mm]
[mm] x_{0} [/mm] ist durch die Aufgabenstellung bekannt und x ist doch die berechnete Nährung????
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Hallo,
> Ich blicke leider immer noch nicht so wirklich durch :(
>
> Ich würde zunächst die 3. Ableitung der Funktion bilden
> und dann folgendes schreiben [mm]R_{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{3}(\xi)}{3!}(x-x_{0})^{3}[/mm]
>
Ja, das stimmt jetzt, ist aber noch kein wirklicher Erkenntnisgewinn. Immerhin hast du eine konrete Aufgabenstellung, so dass da oben ein konkreter Term an Stelle des Symbols für die 3. Ableitung stehen sollte, die man ganz nebenbei noch mit Strichen notiert.
> Nun würde ich für die Nährung den gestellten Wert von
> [mm]\bruch{3\pi}{8}[/mm] einsetzten und ausrechnen.
>
> Der Fehler wäre dann doch [mm]\xi \in {x,x_{0}}[/mm]
>
> [mm]x_{0}[/mm] ist durch die Aufgabenstellung bekannt und x ist doch
> die berechnete Nährung????
Hm, schaust du eigentlich selbst auch mal ab nund an in deine Unterlagen? Ich verstehe deine Frage noch nicht einmal (weil du offensichtlich selbst noch nicht verstanden hast, um was es hier geht).
Das ![[]](/images/popup.gif) Lagrangesche Restglied ist eine Abschätzung des Fehlers, den man bei einer Annäherung per Taylorpolynom begeht. Auf der Wikipediaseite steht (so wie in deinem Skript oder Lehrbuch), was zu tun ist.
Nach Aufgabenstellung sind
[mm] x=\frac{3}{8}\pi
[/mm]
[mm] a=\frac{\pi}{2}
[/mm]
Gruß, Diophant
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