Taylorpolynom, Abweichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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[mm] T_{n}(x) [/mm] bezeichne das Taylorpolynom vom Grade n der Funktion f mit dem Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0
[/mm]
a) Bestimmen Sie die maximale Abweichung beim Approximieren von f(x) := [mm] e^{x} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 durch [mm] T_{7} [/mm] ?
b) Für welche x [mm] \in \IR [/mm] ist der Fehler beim Approximieren von cos x durch [mm] T_{2} [/mm] kleiner also [mm] 10^{-4}? [/mm] |
Also ich habe beide Aufgabenteile abgetippt, mich interessiert aber zuerst nur der a) -Teil. Wenn mir dabei jemand hilft, bekomm ich den b) -Teil vielleicht selbst raus, wenn nicht, meld ich mich nochmal 
Meine Idee zum a) -Teil ist diese:
[mm] T_{7} [/mm] ist nach Definition [mm] \summe_{k=0}^{7}(\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}*x^{k}). [/mm] Es gilt [mm] f^{(n)}(x) [/mm] = f(x), für f(x) = [mm] e^{x} [/mm] und [mm] e^{0}=1, [/mm] also kann ich [mm] T_{7} [/mm] vereinfachen, indem ich 1 einsetze und übrig bleibt [mm] T_{7}=\summe_{k=0}^{7}(\bruch{x^{k}}{k!}).
[/mm]
So für [mm] e^{x} [/mm] haben wir die Definition [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n}(\bruch{x^{k}}{k!}) [/mm] kennengelernt und wenn ich jetzt also [mm] T_{7} [/mm] von [mm] e^{x} [/mm] abziehe, um die Abweichung zu bestimmen, bleibt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=8}^{n}(\bruch{x^{k}}{k!}) [/mm] übrig.
Mein Problem ist nur, ich kann damit wenig anfangen. Wie bestimme ich den Grenzwert? Und wie benutze ich die Information. dass 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1?
Und ist mein Ansatz überhaupt richtig und sinnvoll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 So 15.06.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich denke Du kommst ganz gut weiter, wenn Du die Funktion f(x) als Taylorreihe entwickelst und dann die Darstellung mit Restglied wählst. Dieses Restglied kanst Du dann abschätzten und damit den maximalen Fehler bestimmen.
ulim
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Also danke erstmal für die Antwort, aber ich fürchte, das bringt mich nicht weiter. Wir haben das Restglied [mm] R_{n}(x) [/mm] als [mm] \bruch{f^{n+1}(x_{n+1})}{(n+1)!}*x^{n+1} [/mm] kennengelernt, bzw. das steht so in meinem Hefter. Nur ich kann nichts damit anfangen. Woher weiss ich, wie mein [mm] x_{n+1} [/mm] aussieht? Wähl ich das beliebig zwischen 0 und x? Aber dann kommen doch immer verschiedene Werte heraus abhängig davon, wie ich [mm] x_{n+1} [/mm] wähle?
Kannst du mir ein Beispiel geben, wie man ein Restglied berechnet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 So 15.06.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
allgemein lautet die Taylorformel
[mm] f(x_0+h) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k [/mm] + [mm] \bruch{f^{(n+1)}(x_0+\theta*h)}{(n+1)!}*h^{n+1} [/mm] mit [mm] 0\le\theta\le1
[/mm]
Auf Deinen Fall angewendet gilt
[mm] f(x)=e^x [/mm] und [mm] f^{(k)}(x)=e^x
[/mm]
[mm] x_0=0
[/mm]
h=x mit [mm] 0\le x\le1
[/mm]
Also
[mm] f(x)=\summe_{k=0}^{7} \bruch{x^k}{k!} [/mm] + [mm] \bruch{f^{(8)}(\xi)}{8!}*x^{8} [/mm] mit [mm] 0\le\xi\le{x}
[/mm]
Abzuschätzen ist also der Term
[mm] \bruch{f^{(8)}(\xi)}{8!}*x^{8} [/mm] mit [mm] 0\le\xi\le1 [/mm] und [mm] 0\le x\le1
[/mm]
[mm] \bruch{f^{8}(\xi)}{8!}*x^{8}=\bruch{e^{\xi}}{8!}*x^{8}\le\bruch{1}{8!}
[/mm]
mfg ulim
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Die letzte Abschätzung verstehe ich nicht.
Du schätzt [mm] \bruch{e^{\xi}}{8!}*x^{8} [/mm] mit [mm] 0\le\xi\le1 [/mm] und [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le1 [/mm] ab, aber kommt dann da nicht [mm] \bruch{e^{1}}{8!} [/mm] raus, wenn man das [mm] \xi [/mm] maximal wählt? Oder kann man das [mm] \xi [/mm] wählen wie man will?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Di 17.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, es muss [mm] e^1 [/mm] nicht 1 heissen ullim hat sich vertan.
Gruss leduart
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