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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 25.06.2011 | | Autor: | engels |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] f(x,y)=\vektor{x^{3}y \\ x^{2}+y^{2}}.
[/mm]
Nach dem ich f(1,1), sowie Df(1,1) bestimmen sollte, soll ich nun eine Näherung für [mm] f^{-1}(\bruch{11}{10},2) [/mm] bestimmen. |
Ich habe eine Taylorentwicklung im Punkt [mm] f^{-1}(1,2)=(1,1) [/mm] angesetzt. Leider weiß ich nicht, ob mein Vorgehen bei der Taylorentwicklung richtig war.
Als erstes habe ich [mm] Df^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} \pmat{ 2y & -1 \\ -2x & 3x^{2} } [/mm] bestimmt.
Nun die Taylorentwicklung im Punkt [mm] f^{-1}(1,2)=(1,1).
[/mm]
[mm] T^{-1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} \vektor{2y \\ -2x}*(1,1)*(1,1-1) [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} \vektor{-1 \\ 3x^{2}}*(1,1)*(2-2)
[/mm]
[mm] =\vektor{1,05 \\ 0,95}
[/mm]
Meine Unsicherheit besteht darin, dass ich nicht genau weiß, ob [mm] \bruch{\partial T^{-1}}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} \vektor{2y \\ -2x}*(1,1) [/mm] ist. Ebenso mit der partiellen Ableitung nach y.
Ich habe ja die Jacobimatrix von f an der Stelle (1,1) invertiert. Nach dem Umkehrsatz ist dies ja nun die Jacobimatrix der Umkehrabbildung an entsprechender Stelle. Ist davon nun die erste Spalte die partielle Ableitung nach x der Umleitung?
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Hallo engels,
> Gegeben sei [mm]f(x,y)=\vektor{x^{3}y \\ x^{2}+y^{2}}.[/mm]
>
> Nach dem ich f(1,1), sowie Df(1,1) bestimmen sollte, soll
> ich nun eine Näherung für [mm]f^{-1}(\bruch{11}{10},2)[/mm]
> bestimmen.
> Ich habe eine Taylorentwicklung im Punkt [mm]f^{-1}(1,2)=(1,1)[/mm]
> angesetzt. Leider weiß ich nicht, ob mein Vorgehen bei der
> Taylorentwicklung richtig war.
>
> Als erstes habe ich [mm]Df^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4} \pmat{ 2y & -1 \\ -2x & 3x^{2} }[/mm]
Hier muss doch zunächst stehen:
[mm]Df^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6*x^{2}*y^{2}-x^{4}} \pmat{ 2y & -1 \\ -2x & 3x^{2} \red{y}}[/mm]
> bestimmt.
>
> Nun die Taylorentwicklung im Punkt [mm]f^{-1}(1,2)=(1,1).[/mm]
>
> [mm]T^{-1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4} \vektor{2y \\ -2x}*(1,1)*(1,1-1)[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{4} \vektor{-1 \\ 3x^{2}}*(1,1)*(2-2)[/mm]
>
Hier hat die erste Klammer eine andere Bedeutung als die zweite:
Die erste Klammer ist die Auswertung des davorstehenden
Vektors an der Stelle (1,1).
Die zweite Klammer ist eine Subtraktion.
[mm]T^{-1} = \vektor{1 \\ 1} + \bruch{1}{4}\left( \ \vektor{2y \\ -2x}\blue{(1,1)} \ \right)*\green{(1,1-1)} + \bruch{1}{4}\left( \ \vektor{-1 \\ 3x^{2}*y}\blue{(1,1) }\ \right)*\green{(2-2)}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{1,05 \\ 0,95}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Meine Unsicherheit besteht darin, dass ich nicht genau
> weiß, ob [mm]\bruch{\partial T^{-1}}{\partial x}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4} \vektor{2y \\ -2x}*(1,1)[/mm] ist. Ebenso mit der
> partiellen Ableitung nach y.
>
> Ich habe ja die Jacobimatrix von f an der Stelle (1,1)
> invertiert. Nach dem Umkehrsatz ist dies ja nun die
> Jacobimatrix der Umkehrabbildung an entsprechender Stelle.
> Ist davon nun die erste Spalte die partielle Ableitung nach
> x der Umleitung?
Ja.
Gruss
MathePower
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