Taylorpolynom sin(x)cos(y)e(z) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] mit [mm] f(x,y,z)=sin(x)cos(y)e^z
[/mm]
Berechnen Sie das Taylorpolynom T_2f(x,y,z) um den Punkt a(0,0,0). |
Hi, ich habe noch Verständnisprobleme mit dem Herleiten so eines Polynoms. Habe sogar die Lösung, blick da aber nicht so durch, vielleicht könnt mir das ja erklären, wie man da Schritt für Schritt vorgehen muss. Wäre echt super nett.
Lösung:
Es gilt: f(0,0,0)=0 Also ist [mm] T_0*f(x,y,z)=0. [/mm] Weiter gilt:
[mm] D*f(x,y,z)=(cos(x)cos(y)e^z, -sin(x)sin(y)e^z, sin(x)cos(y)e^z)
[/mm]
D*f(0,0,0)=(1,0,0)
[mm] D^2f(x,y,z)=\pmat{ -sin(x)cos(y)e^z & -cos(x)sin(y)e^z & cos(x)cos(y)e^z \\ -cos(x)sin(y)e^z & -sin(x)cos(y)e^z & -sin(x)sin(y)e^z \\ cos(x)cos(y)e^z & -sin(x)sin(y)e^z & sin(x)cos(y)e^z}
[/mm]
[mm] D^2f(0,0,0=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Es ergeben sich nun folgende Polynome:
[mm] T_0*f(x,y,z)=f(0,0,0)=0
[/mm]
[mm] T_1*f(x,y,z)=T_0*f(x,y,z)+(1,0,0)*(x,y,z)=x
[/mm]
[mm] T_2*f(x,y,z))=T_1*f(x,y,z)+\bruch{1}{2!}\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }*(x,y,z)^2=T_1*f(x,y,z)+\bruch{1}{2}*(xz+zx)=x+xz
[/mm]
d.h. [mm] T_2*f(x,y,z)=x+xz
[/mm]
So, das war die Lösung. Aber wie gesagt, ich weiß nicht, warum man so vorgeht, und was für ein Prinzipg dahinter steckt. Vielleicht kann es mir ja einer erklären.
Danke im Voraus.
Gruß
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Hallo,
> Sei f: [mm]\IR^3 \to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y,z)=sin(x)cos(y)e^z[/mm]
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> Berechnen Sie das Taylorpolynom T_2f(x,y,z) um den Punkt
> a(0,0,0).
> Hi, ich habe noch Verständnisprobleme mit dem Herleiten so
> eines Polynoms. Habe sogar die Lösung, blick da aber nicht
> so durch, vielleicht könnt mir das ja erklären, wie man da
> Schritt für Schritt vorgehen muss. Wäre echt super nett.
>
> Lösung:
>
> Es gilt: f(0,0,0)=0 Also ist [mm]T_0*f(x,y,z)=0.[/mm] Weiter gilt:
>
> [mm]D*f(x,y,z)=(cos(x)cos(y)e^z, -sin(x)sin(y)e^z, sin(x)cos(y)e^z)[/mm]
>
> D*f(0,0,0)=(1,0,0)
>
> [mm]D^2f(x,y,z)=\pmat{ -sin(x)cos(y)e^z & -cos(x)sin(y)e^z & cos(x)cos(y)e^z \\ -cos(x)sin(y)e^z & -sin(x)cos(y)e^z & -sin(x)sin(y)e^z \\ cos(x)cos(y)e^z & -sin(x)sin(y)e^z & sin(x)cos(y)e^z}[/mm]
>
> [mm]D^2f(0,0,0=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Es ergeben sich nun folgende Polynome:
>
> [mm]T_0*f(x,y,z)=f(0,0,0)=0[/mm]
>
> [mm]T_1*f(x,y,z)=T_0*f(x,y,z)+(1,0,0)*(x,y,z)=x[/mm]
>
> [mm]T_2*f(x,y,z))=T_1*f(x,y,z)+\bruch{1}{2!}\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }*(x,y,z)^2=T_1*f(x,y,z)+\bruch{1}{2}*(xz+zx)=x+xz[/mm]
>
> d.h. [mm]T_2*f(x,y,z)=x+xz[/mm]
>
> So, das war die Lösung. Aber wie gesagt, ich weiß nicht,
> warum man so vorgeht, und was für ein Prinzipg dahinter
> steckt. Vielleicht kann es mir ja einer erklären.
>
hast du denn taylorreihen und -polynome im prinzip verstanden? im 1-dimensionalen? Wenn du das prinzip im 1-dim. verstehst, verstehst dus auch im mehrdimensionalen.
gruss
matthias
> Danke im Voraus.
>
> Gruß
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hi, nicht so ganz, aber nachdem ich mir gestern ne halbe stunde diese aufgabe und dann nochmal eine ähnlich angeschaut habe, ist es doch klarer geworden. ich habe nur an zwei stellen noch probleme:
1) [mm] T_2\cdot{}f(x,y,z))=T_1\cdot{}f(x,y,z)+\bruch{1}{2!}\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\cdot{}(x,y,z)^2=T_1\cdot{}f(x,y,z)+\bruch{1}{2}\cdot{}(xz+zx)=x+xz
[/mm]
An dieser Stelle versteh ich nicht ganz, wie die [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\cdot{}(x,y,z)^2, [/mm] um auf [mm] \cdot{}(xz+zx)??
[/mm]
2) Die Formel für dieses Polynom lautet ja: [mm] P_r(x)=\summe_{k=0}^{r}\bruch{1}{k!}D^kf(a)*(x-a)^k
[/mm]
so in unserem Beispiel war ja a=(0,0,0) deswegen entsteht z.b. auch [mm] (x,y,z)^2.
[/mm]
habe jedoch ein anders Beispiel gesehen, wo die auch das Taylorpolynom berechnet haben, und zwar: [mm] f(x,y)=e^x*y [/mm] an a=(0,1). So auch hier, haben die erst ganz normal die Ableitungen bestimmt und dann kamen die Polynome:
[mm] p_0(x,y)=f(0,1)=1
[/mm]
[mm] p_1(x,y)=p_0(x,y)+(1,1)*(x,y-1)
[/mm]
So genau diesen letzten Schritt versteh ich nicht so, in der Formel heißt es ja [mm] (x-a)^k. [/mm] und unser punkt a ist ja jetzt (0,1),aber wie kommen die dann auch y-1? und insgesamt auf (x,y-1).
Danke für Hilfe.
Gruß
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Hallo jaruleking,
> hi, nicht so ganz, aber nachdem ich mir gestern ne halbe
> stunde diese aufgabe und dann nochmal eine ähnlich
> angeschaut habe, ist es doch klarer geworden. ich habe nur
> an zwei stellen noch probleme:
>
> 1)
> [mm]T_2\cdot{}f(x,y,z))=T_1\cdot{}f(x,y,z)+\bruch{1}{2!}\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\cdot{}(x,y,z)^2=T_1\cdot{}f(x,y,z)+\bruch{1}{2}\cdot{}(xz+zx)=x+xz[/mm]
>
> An dieser Stelle versteh ich nicht ganz, wie die [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\cdot{}(x,y,z)^2,[/mm]
> um auf [mm]\cdot{}(xz+zx)??[/mm]
Das muss heißen:
[mm]\pmat{x & y & z}\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\pmat{x \\ y \\ z}=\pmat{x & y & z}\pmat{z \\ 0 \\ x}=xz+zx[/mm]
>
> 2) Die Formel für dieses Polynom lautet ja:
> [mm]P_r(x)=\summe_{k=0}^{r}\bruch{1}{k!}D^kf(a)*(x-a)^k[/mm]
>
> so in unserem Beispiel war ja a=(0,0,0) deswegen entsteht
> z.b. auch [mm](x,y,z)^2.[/mm]
>
> habe jedoch ein anders Beispiel gesehen, wo die auch das
> Taylorpolynom berechnet haben, und zwar: [mm]f(x,y)=e^x*y[/mm] an
> a=(0,1). So auch hier, haben die erst ganz normal die
> Ableitungen bestimmt und dann kamen die Polynome:
>
> [mm]p_0(x,y)=f(0,1)=1[/mm]
>
> [mm]p_1(x,y)=p_0(x,y)+(1,1)*(x,y-1)[/mm]
>
> So genau diesen letzten Schritt versteh ich nicht so, in
> der Formel heißt es ja [mm](x-a)^k.[/mm] und unser punkt a ist ja
> jetzt (0,1),aber wie kommen die dann auch y-1? und
> insgesamt auf (x,y-1).
Hier wurde gerechnet:
[mm]\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}=\pmat{x \\ y}-\pmat{0 \\ 1}=\pmat{x \\ y-1}[/mm]
Bedenke, daß in der Formel [mm]x,a \in \IR^{n}[/mm], hier n=2, sind.
>
> Danke für Hilfe.
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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hi. danke erstmal. dann nochmal kurz eine frage.
warum muss das so heißen?
> $ [mm] \pmat{x & y & z}\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\pmat{x \\ y \\ z}=\pmat{x & y & z}\pmat{z \\ 0 \\ x}=xz+zx [/mm] $
weil in der formel heißt es doch:
$ [mm] P_r(x)=\summe_{k=0}^{r}\bruch{1}{k!}D^kf(a)\cdot{}(x-a)^k [/mm] $ und [mm] (x-a)^k [/mm] steht doch rechts von der Ableitung.
wie würde man es dann eigentlich ausrechnen, wenn es [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\cdot{}(x,y,z)^3 [/mm] heißen würde?
gruß
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Hallo!
Das liegt daran, daß bei rein skalaren Multiplikationen Rechenregeln gelten, die bei der Multiplikation solcher nicht-skalarer Objekte eben nicht gelten.
Wenn diese MAtrix A heißt, so heißt das formal [mm] \vec{x}^TA\vec{x} [/mm] , du könntest aber auch ganz einfach [mm] (A\vec{x})\vec{x} [/mm] rechnen, wie du es in der Schule gelernt hast. Wie du siehst, kommt in der Klammer ein Vektor raus, multipliziert mit dem zweiten Vektor ergibt das einen Skalar, ganz so, wie es sein soll.
Dagegen bedeutet [mm] A\vec{x}^2 [/mm] , daß du zuerst den Vektor mit sich selbst multiplizieren mußt - das ergibt einen Skalar - und das dann noch mit der Matrix. Das Ergebnis wäre in dem Fall wieder eine Matrix!
Im Eindimensionalen kommt jedoch in allen Fällen das gleiche raus.
Deine Frage zu dem [mm] A\vec{x}^3 [/mm] kann man eben nur so beantworten, daß man den Vektor drei mal mit sich selbst multiplizieren soll, dann kommt wieder ein Vektor heraus.
Bei der Taylor-Entwicklung wird das allerdings komplizierter, weil es auch da kein einfaches [mm] \vec{x}^3 [/mm] ist. Du hast auch keine 3x3-Matrix, sondern eher einen 3x3x3-Tensor. Den bekommst du aber kaum auf das Papier, deshalb nimmt man dann den Indexkalkül und schreibt
[mm] $\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3 A_{ijk}x_ix_jx_k$ [/mm] wobei die Komponenten [mm] A_{ijk} [/mm] gesondert angegeben werden.
Der Indexkalkül funktioniert aber auch schon vorher, bei der 3x3-Matrix:
[mm] $\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 A_{ij}x_ix_j$
[/mm]
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danke erstmal.
ich habe aber irgendwie trotzdem noch nicht verstanden,wie man von [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\cdot{}(x,y,z)^2 [/mm] auf [mm] \pmat{x & y & z}\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\pmat{x \\ y \\ z} [/mm] kommt. wo ist das [mm] (x,y,z)^2 [/mm] hin? Weil hier wurde ja niergends [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \circ \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] benutzt.
weil mir kommts irgendwie so vor, als hätten die hier [mm] (x,y,z)^2 [/mm] das quadrat nicht berücksichtigt.
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Hallo jaruleking,
> danke erstmal.
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> ich habe aber irgendwie trotzdem noch nicht verstanden,wie
> man von [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\cdot{}(x,y,z)^2[/mm]
> auf [mm]\pmat{x & y & z}\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\pmat{x \\ y \\ z}[/mm]
Dies ist die Matrix-Schreibweise einer ![[]](/images/popup.gif) quadratischen Gleichung in mehreren Variablen, hier 3.
> kommt. wo ist das [mm](x,y,z)^2[/mm] hin? Weil hier wurde ja
> niergends [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \circ \vektor{x \\ y \\ z}[/mm] =
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] benutzt.
>
> weil mir kommts irgendwie so vor, als hätten die hier
> [mm](x,y,z)^2[/mm] das quadrat nicht berücksichtigt.
Ich weiss auch nicht, wie [mm]A * \left(x,y,z\right)^{2}[/mm] bei euch definiert wurde.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 So 25.05.2008 | | Autor: | jaruleking |
Ok, Vielen danke an euch.
Gruß
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