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| Aufgabe | f(x)=sin(x)
Taylorpolynom 1. Grades in Entw.pkt 0:
Tf(x,0)=x |
Jetzt ist mir aufgefallen, dass das
Taylorpolynom 2. Grades in Entw.pkt 0 ebenfalls nur x ist.
Intuitiv haette ja irgendeine Parabel dazukommen müssen.
Andererseits, wenn ich mir den Graphen des sin in x=0 ansehe, ist da keine Annäherung durch eine normale Parabel naheliegend.
Kann man sich das so erklären, dass aus der Tatsache, dass sich der sin nahe x=0 wie eine ungerade Fktn verhält, folgt, dass im Taylorpolynom auch nur ungerade Potenzen vorkommen können? Wodurch folgen könnte, dass ein Taylorpolynom geradzahligen Grades keine bessere Naeherung bringen kann als das vorausgegangene Taylorpolynom ungerade Grades?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo geigenzaehler!
> f(x)=sin(x)
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> Taylorpolynom 1. Grades in Entw.pkt 0:
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> Tf(x,0)=x
> Jetzt ist mir aufgefallen, dass das
>
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> Taylorpolynom 2. Grades in Entw.pkt 0 ebenfalls nur x ist.
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> Intuitiv haette ja irgendeine Parabel dazukommen müssen.
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> Andererseits, wenn ich mir den Graphen des sin in x=0
> ansehe, ist da keine Annäherung durch eine normale Parabel
> naheliegend.
>
> Kann man sich das so erklären, dass aus der Tatsache, dass
> sich der sin nahe x=0 wie eine ungerade Fktn verhält,
Der Sinus verhält sich nicht nur so - [mm] $\sin(x)$ [/mm] IST eine ungerade Funktion.
> folgt, dass im Taylorpolynom auch nur ungerade Potenzen
> vorkommen können? Wodurch folgen könnte, dass ein
> Taylorpolynom geradzahligen Grades keine bessere Naeherung
> bringen kann als das vorausgegangene Taylorpolynom ungerade
> Grades?
Ja, so in der Art....
Bei einer ungeraden Funktion wirst du auch nur ungerade Taylorpolynome bekommen (analog bei geraden Funktionen).
Bei der Taylorentwicklung tauchen die Ableitungen auf. Beim Sinus wechseln sich da Sinus und Kosinus ab. Im Entwicklungspunkt 0 fallen alle Sinusterme weg - das ist jeder zweite Term, bzw. die Terme mit geradzahligem Exponenten.
Lieben Gruß,
Fulla
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