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Forum "Differenzialrechnung" - Taylorpolynom zweiter Ordnung
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Taylorpolynom zweiter Ordnung: Lösungshinweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Do 26.05.2011
Autor: Mathegirl

Aufgabe
a) f: [mm] \IR^2 \to \IR, [/mm] f(x):= [mm] exp(x_1, x_2) [/mm]
Bestimme das Taylorpolynom zweiter Ordnung mit Entwicklungspunkt [mm] x_0= [/mm] (0,0)


b) [mm] g:\IR^3 \to \IR, [/mm]    g(x):= [mm] \bruch{1}{1+\parallel x\parallel^2 } [/mm]

Bestimme das Taylorpolynom zweiter Ordnung mit Entwicklungspunkt [mm] x_0=(0,0,0) [/mm]


Hallo...
kann mir jemand helfen das Taylorpolynom zweiter Ordnung zu bestimmen? Ich weiß leider gar nicht wie man sowas macht :(

Doch, diese Formel ist mir bekannt, aber damit komme ich nicht zurecht
[mm] T_2(x_0,y_0)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+\bruch{1}{2}[f_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+2f_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+f_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2] [/mm]

Also mit einsetzen und rechnen...

Gruß
Mathegirl

        
Bezug
Taylorpolynom zweiter Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Do 26.05.2011
Autor: Blech

Hi,

> f: $ [mm] \IR^2 \to \IR, [/mm] $ f(x):= $ [mm] exp(x_1, x_2) [/mm] $

Was ist [mm] $\exp(x_1;x_2)$? [/mm]


Deine Formel sieht richtig aus,

[mm] $f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x} [/mm] f(x,y)$

mit 2 Buchstaben ist es dementsprechend

[mm] $f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x^2} [/mm] f(x,y)$

Jetzt berechnest Du die ganzen Ableitungen von f und setzt ein.

ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Taylorpolynom zweiter Ordnung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:56 Do 26.05.2011
Autor: Mathegirl

und da geht mein Problem schon los....woher nimmst du das [mm] \partial [/mm] und wie soll ich von f(x)= [mm] exp(x_1,x_2) [/mm] eine Ableitung bilden? Das ist ja keine "richtige Funktion!

Kannst du mir vielleicht einen Anfang vorrechnen oder erklären? Mir fehlt es irgendwie am Gesamtverständnis glaub ich.

Mathegirl

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Bezug
Taylorpolynom zweiter Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Do 26.05.2011
Autor: Blech

[mm] $f_x$ [/mm] ist nur ne Schreibweise für die partielle Ableitung.

Bei [mm] $\exp(x_1; x_2)$ [/mm] kann ich Dir auch nicht helfen. Ich nehm mal an das soll ein [mm] $\exp(x_1x_2)$ [/mm] sein.

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Taylorpolynom zweiter Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Do 26.05.2011
Autor: Mathegirl

ja du hast recht! ich habe mich verschrieben.....aber ich krieg es einfach nicht hin...:(

Bezug
                                        
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Taylorpolynom zweiter Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Do 26.05.2011
Autor: Adamantin

Weißt du denn überhaupt, was eine partielle Ableitung ist? Ohne dieses Wissen bist du natürlich aufgeschmissen. Also nimm dir dein Lieblingsmathebuch und schau das ganz schnell nach!

Einfach gesagt wählst du eine Variable als feste Konstante und leitest erst einmal nur nach der anderen ab. Daher ist dein Ausdruck für das Taylorpolynom um einiges sperriger als nur für eine Variable, da du eben sowogl [mm] f_x [/mm] als auch [mm] f_y [/mm] bilden kannst.

Wenn du also [mm] e^{xy} [/mm] nach x ableiten willst, wäre das [mm] ye^{xy}. [/mm] Und für x gerade spiegelbildlich ;)

Bezug
                                                
Bezug
Taylorpolynom zweiter Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Do 26.05.2011
Autor: Mathegirl

ja du hast recht! ich habe mich verschrieben.....aber ich krieg es einfach nicht hin...:(

also  kann ich für [mm] x_1x_2 [/mm] auch xy setzten?

dan wären die ableitungen:
[mm] f_x= ye^{xy} [/mm]
[mm] f_y= xe^{xy} [/mm]
[mm] f_{xx}= x^2*e^{xy} [/mm]
[mm] f_{xy}= ye^{xy}*xe^{xy} [/mm]
[mm] f_{yy}=x^2*e^{xy} [/mm]

oder? und das muss ich dann einsetzen?


Bezug
                                                        
Bezug
Taylorpolynom zweiter Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Do 26.05.2011
Autor: MathePower

Hallo Mathegirl,

> ja du hast recht! ich habe mich verschrieben.....aber ich
> krieg es einfach nicht hin...:(
>  
> also  kann ich für [mm]x_1x_2[/mm] auch xy setzten?
>  
> dan wären die ableitungen:
>  [mm]f_x= ye^{xy}[/mm]
>  [mm]f_y= xe^{xy}[/mm]
>  [mm]f_{xx}= x^2*e^{xy}[/mm]

[ok]


>  [mm]f_{xy}= ye^{xy}*xe^{xy}[/mm]


Diese partielle Ableitung mußt Du nochmal nachrechnen.
Hier kommt die Produktregel zum Einsatz.


>  
> [mm]f_{yy}=x^2*e^{xy}[/mm]


[ok]


>  
> oder? und das muss ich dann einsetzen?
>


Setze hier zunächst den Entwicklungspunkt (0,0) ein
und bestimme den Wert der partiellen Ableitungen .

Diesen Wert setzt Du dann in die Taylorfomel ein.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                        
Bezug
Taylorpolynom zweiter Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:29 Fr 27.05.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> ja du hast recht! ich habe mich verschrieben.....aber ich
> krieg es einfach nicht hin...:(
>  
> also  kann ich für [mm]x_1x_2[/mm] auch xy setzten?

natürlich - das ist zum Arbeiten oft viel angenehmer
als die lästige Nummeriererei !
  

> dan wären die ableitungen:
>  [mm]f_x= ye^{xy}[/mm]      [ok]
>  [mm]f_y= xe^{xy}[/mm]      [ok]


>  [mm]f_{xx}= \red{x^2}*e^{xy}[/mm]      [notok]

(MathePower hat diesen Fehler übersehen)

>  [mm]f_{yy}= x^2*e^{xy}[/mm]      [ok]


>  [mm]f_{xy}= ye^{xy}*xe^{xy}[/mm]      [notok]

Für diese Ableitung brauchst du die Produktregel !  

LG   Al-Chw.

Bezug
                        
Bezug
Taylorpolynom zweiter Ordnung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Sa 28.05.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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