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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Tobi86 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für f : D → R und das n-te Taylorpolynom mit dem Entwicklungspunkt x0, wenn
a)n = 2, x0 = 1 und f(x) := [mm] x^{2}+ [/mm] 2*x + 2 für x ∈ R=:D
b)n =75, x0= 0 und f(x) := [mm] \bruch{1}{1+2x} [/mm] für x ∈ D := R |
Hallo Leute,
ich soll die beiden Taylorpolynome berechnen, bei aufgabe 2 habe ich noch etwas hilfe bekommen,komme aber auch nicht wirklich weiter!!ich soll bei a) die x durch x-1 ersetzen, würde dann [mm] (x-1)^{2}+2(x-1)+2+2x-1+2 [/mm] aber ich verstehe einfach nicht,wie man auf die 2x-1+2 kommt!!:( wenn man alles zusammenfasst,soll man [mm] (x-1)^{2} [/mm] +2(x-1)+2(x-1)+2+3 herausbekommen,aber ich komme irgendwie garnicht darauf!!
bei der aufgabe b) kann man doch die funktion gleich in eine potenzreihe schreiben,oder? wenn ja,wie würde diese reihe aussehen??
bitte um eure schnelle hilfe!!
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> Bestimmen Sie für f : D → R und das n-te
> Taylorpolynom mit dem Entwicklungspunkt x0, wenn
> a)n = 2, x0 = 1 und f(x) := [mm]x^{2}+[/mm] 2*x + 2 für x ∈
> R=:D
> b)n =75, x0= 0 und f(x) := [mm]\bruch{1}{1+2x}[/mm] für x ∈ D
> := R
> Hallo Leute,
> ich soll die beiden Taylorpolynome berechnen, bei aufgabe
> 2 habe ich noch etwas hilfe bekommen,komme aber auch nicht
> wirklich weiter!!ich soll bei a) die x durch x-1 ersetzen,
> würde dann [mm](x-1)^{2}+2(x-1)+2+2x-1+2[/mm] aber ich verstehe
> einfach nicht,wie man auf die 2x-1+2 kommt!!:( wenn man
> alles zusammenfasst,soll man [mm](x-1)^{2}[/mm] +2(x-1)+2(x-1)+2+3
> herausbekommen,aber ich komme irgendwie garnicht darauf!!
Es ist doch [mm] $\blue{x^2=(x-1)^2+2x-1}$ [/mm] und [mm] $\green{2x=2(x-1)+2}$ [/mm] also erhalten wir, durch Einsetzen der rechten Seiten dieser Beziehungen für deren linke Seiten in [mm] $x^2+2x+2$, [/mm] dass gelten muss
[mm]\begin{array}{lcl}
x^2+2x+2&=&\blue{(x-1)^2+2x-1}+\green{2(x-1)+2}+2\\
&=& (x-1)^2+4(x-1)+5
\end{array}[/mm]
Damit hast Du eine vollständige Entwicklung der Funktion um [mm] $x_0=1$ [/mm] und kannst somit Dein Taylorpolynom problemlos an dieser Form ablesen.
> bei der aufgabe b) kann man doch die funktion gleich in
> eine potenzreihe schreiben,oder? wenn ja,wie würde diese
> reihe aussehen??
Stichwort geometrische Reihe (konvergiert für $|2x|<1$, d.h. [mm] $|x|<\frac{1}{2}$, [/mm] absolut):
[mm]\frac{1}{1+2x}=\sum_{k=0}^\infty (2x)^k=\sum_{k=0}^\infty 2^k (x-0)^k[/mm]
Das gesuchte Taylorpolynom ist somit [mm] $\sum_{k=0}^{75} 2^k(x-0)^k$
[/mm]
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