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| Aufgabe | Bestimme die Taylorreihe um z=0 und deren Konvergenzradius
(i) [mm] f(z)=\bruch{2z+1}{z+1} [/mm]
(ii) [mm] g(z)=exp(-z^2) [/mm] |
moin,
ich beschäftige mich gerade mit diese Aufgabe und ich hoffe ihr könnt ein Blick darauf werfen und mir evtl. weiterhelfen.
zu(i) habe ich erstmal bis zur 4. Ableitung betrachtet:
f(0)=1
[mm] f'(z)=\bruch{1}{(z+1)^2}\rightarrow [/mm] f'(0)=1
[mm] f''(z)=\bruch{-2}{(z+1)^3}\rightarrow [/mm] f''(0)=-2
[mm] f'''(z)=\bruch{6}{(z+1)^3}\rightarrow [/mm] f'''(0)=6
[mm] f^{(4)}=\bruch{-18}{(z+1)^3} \rightarrow f^{(4)}(0)=-18
[/mm]
alles in die Formel eingesetzt [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{f(0)}{0!}z^0+\bruch{f'(0)}{1!}z+\bruch{f''(0)}{2!}z^2+\bruch{f'''(0)}{3!}z^3+\bruch{f^{(4)}(0)}{4!}z^4+...
[/mm]
[mm] =1+z+\bruch{(-2)}{2!}z^2+\bruch{6}{3!}z^3+\bruch{(-18)}{4!}z^4+...
[/mm]
[mm] =1+z+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n(-2)\cdot 3^n}{(n+2)!}
[/mm]
anders konnte ich die reihe nicht zusammenfassen. vllt habt ihr eine andere Idee. Wie bestimme ich anhand diese reihe den konvergenzradius?
(ii) ich habe erstmal auch genauso wie bei (i) versucht, aber die ableitungen habe sich immer aufgehoben bzw ergaben durch einsetzten von z gleich null. also habe mit anders überlegt, indem ich die Taylorreihhe der exponentialfkt. betrachtet habe [mm] exp(y)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{y^n}{n!} [/mm] und habe es anstelle von [mm] y=-z^2 [/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-z^2)^n}{n!} [/mm] und da die exp(z) den konvergenzradius [mm] \infty [/mm] hat, ist konvergenzradius von [mm] exp(-z^2) [/mm] auch [mm] \infty, [/mm] oder?!
gibt es auch einen anderen bzw. ist der lösungsweg anders?
Ist das was ich bei (i) und (ii) gemacht habe richtig (oder ansatzweise)?
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und danke euch schonmal im voraus.
Gruß,
questionpeter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Mi 27.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimme die Taylorreihe um z=0 und deren Konvergenzradius
>
> (i) [mm]f(z)=\bruch{2z+1}{z+1}[/mm]
> (ii) [mm]g(z)=exp(-z^2)[/mm]
> moin,
>
> ich beschäftige mich gerade mit diese Aufgabe und ich
> hoffe ihr könnt ein Blick darauf werfen und mir evtl.
> weiterhelfen.
>
> zu(i) habe ich erstmal bis zur 4. Ableitung betrachtet:
>
> f(0)=1
> [mm]f'(z)=\bruch{1}{(z+1)^2}\rightarrow[/mm] f'(0)=1
> [mm]f''(z)=\bruch{-2}{(z+1)^3}\rightarrow[/mm] f''(0)=-2
> [mm]f'''(z)=\bruch{6}{(z+1)^3}\rightarrow[/mm] f'''(0)=6
da bin ich aber mit dem Exponenten linkerhand nicht konform!
> [mm]f^{(4)}=\bruch{-18}{(z+1)^3} \rightarrow f^{(4)}(0)=-18[/mm]
Analoger Fehler!
> alles in die Formel eingesetzt
> [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{f(0)}{0!}z^0+\bruch{f'(0)}{1!}z+\bruch{f''(0)}{2!}z^2+\bruch{f'''(0)}{3!}z^3+\bruch{f^{(4)}(0)}{4!}z^4+...[/mm]
>
> [mm]=1+z+\bruch{(-2)}{2!}z^2+\bruch{6}{3!}z^3+\bruch{(-18)}{4!}z^4+...[/mm]
>
> [mm]=1+z+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n(-2)\cdot 3^n}{(n+2)!}[/mm]
>
> anders konnte ich die reihe nicht zusammenfassen.
Folgefehler.
Behauptung: Für
[mm] $f(z)=\frac{2z+1}{z+1}$
[/mm]
gilt für jedes $n [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] $f^{n}(z)=(-1)^{n+1}*\frac{n!}{(z+1)^{n+1}}$ [/mm] und insbesondere [mm] $f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}*(n!)\,.$
[/mm]
Beweis: Es ist zunächst
[mm] $f\,'(z)=(2*(z+1)-(2z+1)*1)/(z+1)^2=\frac{1}{(z+1)^2}$.
[/mm]
Weiter: Aus
[mm] $f^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}*(n!)/(z+1)^{n+1}$
[/mm]
folgt mit der Kettenregel unter Beachtung von [mm] $f^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}*(n!)*(z+1)^{-n-1}$ [/mm] sofort
[mm] $f^{(n+1)}(z)=\frac{d}{dz}\left(f^{(n)}(z)\right)=(-1)^{n+1}*(n!)*(-(n+1))*(z+1)^{-n-2}=(-1)^{n+2}*((n+1)!)*\frac{1}{(z+1)^{n+2}}=(-1)^{n+2}*\frac{(n+1)!}{(z+1)^{n+2}}\,.$ [/mm]
Die Zusatzbehauptung, indem man $z:=0$ einsetzt! (Anstatt der Kettenregel
und der Umformung kannst Du auch im Induktionsschritt die Quotientenregel
benützen!)
Falls Du Octave oder Matlab hast, dann kannst Du auch mal folgenden
Code testen (ist aber für die zugehörige reelle Funktion geschrieben):
| 1: | t = [-2:0.01:2];
| | 2: | t(find(t==-1)) = NaN; % wir wollen nicht durch 0 teilen!
| | 3: | y = (2*t+1)./(t+1);
| | 4: | s = 1;
| | 5: | n = 1;
| | 6: | while true
| | 7: | s=s.+(-1)^(n+1)*(t-0).^n;
| | 8: | plot(t,y);
| | 9: | hold on;
| | 10: | plot(t,s,'r');
| | 11: | ylim([-30 5]);
| | 12: | xlim([-1.1 1.1])
| | 13: | pause
| | 14: | hold off;
| | 15: | n=n+1;
| | 16: | end
|
Immer schön Enter drücken und den Plot bestaunen.  (Abbruch mit CTRL+C .)
> vllt habt
> ihr eine andere Idee. Wie bestimme ich anhand diese reihe
> den konvergenzradius?
Wir haben nun
[mm] $f^{(0)}(0)=1$
[/mm]
und
[mm] $f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}*(n!)$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Was ist denn dann
[mm] $R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|f^{(n)}(0)/n!|}}=...$?
[/mm]
Hinweis: [mm] $f^{(n)}(0)/n!=(-1)^{n+1}*n!/n!=...$?
[/mm]
Na, was ist [mm] $|(-1)^{n+1}|$?
[/mm]
> (ii) ich habe erstmal auch genauso wie bei (i) versucht,
> aber die ableitungen habe sich immer aufgehoben bzw ergaben
> durch einsetzten von z gleich null.
Na, des koan joa net senn...
> also habe mit anders
> überlegt, indem ich die Taylorreihhe der exponentialfkt.
> betrachtet habe
> [mm]exp(y)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{y^n}{n!}[/mm] und habe es
> anstelle von [mm]y=-z^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-z^2)^n}{n!}[/mm] und
> da die exp(z) den konvergenzradius [mm]\infty[/mm] hat, ist
> konvergenzradius von [mm]exp(-z^2)[/mm] auch [mm]\infty,[/mm] oder?!
> gibt es auch einen anderen bzw. ist der lösungsweg
> anders?
>
> Ist das was ich bei (i) und (ii) gemacht habe richtig (oder
> ansatzweise)?
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und danke euch
> schonmal im voraus.
Ja, auf jeden Fall ist
[mm] $\exp(-z^2)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-z^2)^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}*z^{2k}$
[/mm]
Daher ist
[mm] $\exp(-z^2)=\sum_{k=0}^\infty a_k*(z-0)^k$
[/mm]
mit
[mm] $\displaystyle a_k=\left\{\begin{matrix}
\displaystyle\frac{(-1)^{k/2}}{(k/2)!}, & \mbox{wenn }k\mbox{ gerade} \\
0, & \mbox{wenn }k\mbox{ ungerade}
\end{matrix}\right.$, [/mm]
wobei $k [mm] \in \IN_0$.
[/mm]
Jetzt weißt Du auch, was Du bei [mm] $f^{(n)}(0)$ [/mm] hättest rausbekommen müssen, denn
es gilt ja dann
[mm] $f^{(n)}(0)=n!*a_n\,.$
[/mm]
Für die Berechnung des Konvergenzradius könntest Du Dich dumm stellen
und so vorgehen, wie ich es gestern hier:
https://matheraum.de/read?i=1059185#artikelmenu
angedeutet habe - allerdings mußt Du dabei ein wenig aufpassen, denn die
Quotienten [mm] $a_{k+1}/a_k$ [/mm] lassen sich hier ja meist nicht hinschreiben.
Besser: Schau' mal, was ich
hier: https://matheraum.de/read?i=1048546
geschrieben habe.
Weil die Potenzreihe [mm] $\exp(w)=...$ [/mm] den Konvergenzradius [mm] $R_w=\infty$ [/mm] in $w$ hat, folgt
dann sofort,
dass [mm] $\exp(-z^2)$ [/mm] den Konvergenzradius [mm] $R_z=\sqrt{R_w}$ [/mm] ,, [mm] $=\sqrt{\infty}=\infty$ [/mm] '' hat! (Die letzten
Gleichheiten sollen in Gänsefüßchen stehen, weil das formal nicht ganz sauber
ist.)
Man kann das auch so einsehen: Die Potenzreihe (o.E. Entwicklungsmitte [mm] $0\,$)
[/mm]
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k w^k$
[/mm]
habe erstmal den Konvergenzradius [mm] $R_w \in [0,\infty)\,.$
[/mm]
Das bedeutet: Für alle w mit $|w| < [mm] R_w$ [/mm] konvergiert sie, für alle w mit $|w| > [mm] R_w$ [/mm] divergiert sie.
Nun setzen wir [mm] $w:=-z^2\,.$ [/mm] Dann gilt für
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k (-z^2)^k$:
[/mm]
Für alle $z$ mit [mm] $|w|=|-z^2| [/mm] < [mm] R_w$ [/mm] konvergiert sie, für alle $z$ mit [mm] $|w|=|-z^2| [/mm] > [mm] R_w$ [/mm] divergiert sie.
Anders gesagt: Für alle $z$ mit [mm] $|z|^2 [/mm] < [mm] R_w$ [/mm] haben wir Konvergenz, für alle $z$ mit [mm] $|z|^2 [/mm] > [mm] R_w$ [/mm] Divergenz.
Also: Für alle $z$ mit $|z| < [mm] \sqrt{R_w}=:R_z$ [/mm] haben wir Kgz., für alle $z$ mit $|z| > [mm] \sqrt{R_w}=R_z$ [/mm] Divergenz.
Also ist [mm] $R_z=\sqrt{R_w}$ [/mm] hier der Konvergenzradius bzgl. der Variablen z.
In Deinem Fall ist halt [mm] $R_w=\infty$, [/mm] und dann kannst Du, wenn Du es ganz sauber
machen willst, etwa auch einen Widerspruchsbeweis führen: Wäre der
Konvergenzradius [mm] $R_z$ [/mm] bzgl. der Variablen z in [mm] $[0,\infty)$, [/mm] dann wäre auch [mm] $R_w=(R_z)^2 \in [0,\infty)$.
[/mm]
P.P.S. Natürlich haben die durch [mm] $\exp(-z^2)$ [/mm] und [mm] $\exp(z^2)$ [/mm] gegebenen Potenzreihen
den selben Konvergenzradius; das sieht man auch an
[mm] $\exp(-z^2)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-z^2)^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}*z^{2k}$
[/mm]
Denn was ändert sich bei [mm] $\exp(z^2)$ [/mm] und wie berechnet man den Konvergenzradius
gemäß Cauchy-Hadamard?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Do 28.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Tipp zu i):
Es ist $ [mm] f(z)=\bruch{2z+1}{z+1}= \bruch{2z+1}{1-(-z)}$
[/mm]
Schreibe [mm] \bruch{1}{1-(-z)} [/mm] als Potenzreihe (geometrische Reihe !). Multipliziere dann mit 2z+1.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:55 Do 28.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Tipp zu i):
>
> Es ist [mm]f(z)=\bruch{2z+1}{z+1}= \bruch{2z+1}{1-(-z)}[/mm]
>
> Schreibe [mm]\bruch{1}{1-(-z)}[/mm] als Potenzreihe (geometrische
> Reihe !). Multipliziere dann mit 2z+1.
alternativ: Schreibe
[mm] $\frac{2z+1}{z+1}=1+\frac{z}{1-(-z)}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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