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Taylorreihe: Beweis mit abs.Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:18 Mo 18.01.2016
Autor: SusanneK

Aufgabe
Beweisen Sie, dass [mm]sin^2(x)=\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{2^{2k-1}}{(2k)!} x^{2k} [/mm] für alle [mm] x \in \mathbb{R}[/mm] gilt.

Hallo,
ich weiß, dass ich das damit zeigen kann, wenn das Restglied gegen 0 geht.

Meine Frage ist jetzt, ob ich das auch damit zeigen kann, wenn ich beweise, dass die o.g. Taylorreihe absolut konvergent ist (z.B. mit dem Quotientenkriterium) ?

Danke im voraus !

        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:31 Mo 18.01.2016
Autor: fred97


> Beweisen Sie, dass [mm]sin^2(x)=\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{2^{2k-1}}{(2k)!} x^{2k}[/mm]
> für alle [mm]x \in \mathbb{R}[/mm] gilt.
>  Hallo,
>  ich weiß, dass ich das damit zeigen kann, wenn das
> Restglied gegen 0 geht.
>  
> Meine Frage ist jetzt, ob ich das auch damit zeigen kann,
> wenn ich beweise, dass die o.g. Taylorreihe absolut
> konvergent ist (z.B. mit dem Quotientenkriterium) ?
>  
> Danke im voraus !


Zunächst ist

   [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{2^{2k-1}}{(2k)!} x^{2k}=-\bruch{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!}=-\bruch{1}{2} (\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!}-1)=-\bruch{1}{2} [/mm] (cos(2x)-1)$

Jetzt Du !

FRED

Bezug
                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:07 Mo 18.01.2016
Autor: SusanneK

Hallo Fred,
danke für Deine Hilfe !

Ah...also so:
..[mm]-\frac{1}{2}(cos(2x)-1)=-\frac{1}{2}(cos^2(x)-sin^2(x)-1)=-\frac{1}{2}(1-2sin^2(x)-1)=sin^2(x)[/mm]

Danke !!

Aber meine Frage bleibt trotzdem, ob man mit der absoluten Konvergenz diese Gleichheit auch zeigen darf/kann - oder ob das nicht geht ?
Also hat man bei absoluter Konvergenz immer auch, dass das Restglied des Taylorpolynoms gegen 0 geht und damit auch autom. die Gleichheit oben gezeigt ?

LG, Susanne

Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:35 Mo 18.01.2016
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  danke für Deine Hilfe !
>  
> Ah...also so:
>  
> ..[mm]-\frac{1}{2}(cos(2x)-1)=-\frac{1}{2}(cos^2(x)-sin^2(x)-1)=-\frac{1}{2}(1-2sin^2(x)-1)=sin^2(x)[/mm]
>  
> Danke !!
>  
> Aber meine Frage bleibt trotzdem, ob man mit der absoluten
> Konvergenz diese Gleichheit auch zeigen darf/kann - oder ob
> das nicht geht ?

Alle Reihen in

    

   $ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{2^{2k-1}}{(2k)!} x^{2k}=-\bruch{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!}=-\bruch{1}{2} (\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!}-1) [/mm] $

sind absolut konvergent in jedem x [mm] \in \IR. [/mm]

FRED

>  Also hat man bei absoluter Konvergenz immer auch, dass das
> Restglied des Taylorpolynoms gegen 0 geht und damit auch
> autom. die Gleichheit oben gezeigt ?
>  
> LG, Susanne


Bezug
                                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:07 Mo 18.01.2016
Autor: SusanneK

Hallo Fred,

> Alle Reihen in
>
>
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{2^{2k-1}}{(2k)!} x^{2k}=-\bruch{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!}=-\bruch{1}{2} (\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!}-1)[/mm]
>  
> sind absolut konvergent in jedem x [mm]\in \IR.[/mm]
>  

...und das verstehe ich so, dass dann das Restglied des Taylorpolynoms immer gegen 0 konvergiert. Oder verstehe ich da etwas falsch ?

Danke !
LG, Susanne




Bezug
                                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:22 Mo 18.01.2016
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > Alle Reihen in
> >
> >
> >
> > [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{2^{2k-1}}{(2k)!} x^{2k}=-\bruch{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!}=-\bruch{1}{2} (\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!}-1)[/mm]
>  
> >  

> > sind absolut konvergent in jedem x [mm]\in \IR.[/mm]
>  >  
>
> ...und das verstehe ich so, dass dann das Restglied des
> Taylorpolynoms immer gegen 0 konvergiert.

Ja

FRED

> Oder verstehe ich
> da etwas falsch ?
>  
> Danke !
>  LG, Susanne
>  
>
>  


Bezug
                                                
Bezug
Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:59 Mo 18.01.2016
Autor: SusanneK

Lieber Fred,
herzlichen Dank !!
LG, Susanne

Bezug
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