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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:51 So 21.01.2007 | | Autor: | nix19 |
| Aufgabe | | Man entwickle die Funktion g(x)= [mm] \bruch{x+1}{x^{2}-4x+3} [/mm] in der Umgebung des Punktes x1=4 in eine Taylorreihe. |
Ich weis nicht wie ich das rechnen soll? Kann mir da einer helfen?
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> Man entwickle die Funktion g(x)= [mm]\bruch{x+1}{x^{2}-4x+3}[/mm] in
> der Umgebung des Punktes x1=4 in eine Taylorreihe.
> Ich weis nicht wie ich das rechnen soll? Kann mir da einer
> helfen?
Hallo,
was ist denn eine Taylorreihe?
Was brauchst Du dafür?
Woran scheitert es?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 So 21.01.2007 | | Autor: | nix19 |
Ich glaube, dass ich das mit Partialbruchzerlegung am Anfang berechnen soll. Und da liegt mein Problem, ich weiß nicht wie ich den Nenner aufteilen soll. Oder liege ich da falsch?
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> Ich glaube, dass ich das mit Partialbruchzerlegung am
> Anfang berechnen soll. Und da liegt mein Problem, ich weiß
> nicht wie ich den Nenner aufteilen soll.
Aha. So etwas mußt Du doch schreiben! Jetzt wissen wir, wo Dein Problem liegt...
Es liegt also nicht darin, daß Du nicht weißt, was eine Taylorreihe ist, sondern im Zerlegen Deiner Funktion.
Du brauchst ja die Ableitungen von [mm] g(x)=\bruch{x+1}{x^{2}-4x+3}, [/mm] und die sind wirklich etwas lästig und ihre Systematik nicht leicht zu durchschauen, wenn man einfach munter drauflos rechnet.
Was Du für die Partialbruchzerlegung brauchst, sind die Nullstellen des Nenners - die kann man schnell erraten.
Dann schreib Dir den Nenner als [mm] x^{2}-4x+3=(x-a)(x-b)
[/mm]
Also hast Du dann [mm] g(x)=\bruch{x+1}{(x-a)(x-b)}
[/mm]
Ziel ist es nun, A und B zu finden mit [mm] g(x)=\bruch{A}{(x-a)}+\bruch{B}{(x-b)}.
[/mm]
Wie geht das?
Es soll sein [mm] \bruch{x+1}{(x-a)(x-b)} =\bruch{A}{(x-a)}+\bruch{B}{(x-b)} =\bruch{Ax-Ab+Bx-Ba}{(x-a)(x-b)} =\bruch{(A+B)x+(-Ab-Ba)}{(x-a)(x-b)}
[/mm]
Den letzten Zahler vergleichst Du nun mit dem ersten:
A+B=1 und -Ab-Ba=1.
Hieraus kannst Du A und B berechnen und hast somit die gewünschte Zerlegung Deines Bruchs.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 So 21.01.2007 | | Autor: | nix19 |
So das hab ich hin bekommen: g(x)=- [mm] \bruch{1}{(x-1)}+\bruch{1}{(x-3)}. [/mm] Aber was muss ich dann machen. Ich hab mir das durchgelesen: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe .
Ich weiß aber jetzt nicht wie ich das umsetzen soll?
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> So das hab ich hin bekommen: g(x)=-
> [mm]\bruch{1}{(x-1)}+\bruch{1}{(x-3)}.[/mm] Aber was muss ich dann
> machen. Ich hab mir das durchgelesen:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe .
Also ist die gesuchte Reihe
[mm] T_g(4)=g(4)+g'(4)(x-4)+\bruch{g''(4)}{2!}(x-4)^2+\bruch{g'''(4)}{3!}(x-4)^3+\bruch{g^{4}(4)}{4!}(x-4)^4+...
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{g^{n}(4)}{n!}(x-4)^n,
[/mm]
was bedeutet, daß Du fleißig ableiten mußt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 So 21.01.2007 | | Autor: | nix19 |
Aber bis wohinh muss ich den Ableiten? Das verstehe ich irgendwie nicht so richtig.
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> Aber bis wohinh muss ich den Ableiten? Das verstehe ich
> irgendwie nicht so richtig.
Jetzt muß ich ein wenig schmunzeln:
ich glaube nämlich, Du hast das durchaus richtig verstanden! Du mußt unendlich lange ableiten...
Fang mal an.
Tip: schreibe die Brüche als [mm] (...)^{-1}, [/mm] das macht es behaglicher.
Spätestens bei der 10.Ableitung wirst Du eine Systematik erkannt haben und wissen, wie die n-te Ableitung allgemein aussieht.
Das kannst Du dann für [mm] g^{n} [/mm] hinter das Summenzeichen stecken, nachdem Du es per Induktion bewisen hast.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 So 21.01.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
g(x) lautet:
[mm] g(x)=\bruch{-1}{(x-1)}+\bruch{2}{(x-3)}
[/mm]
[mm] \bruch{x+1}{x^{2}-4x-3}=\bruch{A}{(x-1)}+\bruch{B}{(x-3)}
[/mm]
x+1=A(x-3)+B(x-1)
für Nennernullstelle x=1
2=-2A
A=-1
für Nennernullstelle x=3
4=2B
B=2
Steffi
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