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| Aufgabe 1 | | Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt? Gib ein Beispiel und ein Gegenbeispiel. |
| Aufgabe 2 | Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in [mm]x_0 = 0[/mm]?
1.) [mm](1 + x)^\alpha[/mm]
2.) [mm] log(1 + x)[/mm]
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Hallo,
also zur ersten Fragen würde ich sagen
- Wo: An einem Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm]
- Wann: Wenn es eine Potenzreihe gibt, für welche in einer Umgebung um den Entwicklungspunkt gilt: [mm]|t(x)-f(x)| < \epsilon[/mm], wobei t die Taylorreihe und f die Ursprungsfunktion ist?
Beispiel:
[mm]exp(x)[/mm] wird dargestellt durch [mm]t(x) := \summe_{k=0}^n 1/(k!)*(x-x_0)^k[/mm]
Gegenbeispiel:
Gibt es da überhaupt was?
Stimmt das soweit?
Nun zur 2. Aufgabe:
Die n-te Ableitung von [mm](1+x)^\alpha[/mm] ist ja: [mm](a-n)*(a-(n-1))*...*(a-2)*(a-1)*a*(x+1)^{a-n}[/mm]?
[mm](1+x)^\alpha = ... [/mm]
[mm]log(x+1) = ...[/mm]
Wie mache ich das?
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Hallo Christoph,
> also zur ersten Frage würde ich sagen
>
> - Wo: An einem Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm]
> - Wann: Wenn es eine Potenzreihe gibt, für welche in einer
> Umgebung um den Entwicklungspunkt gilt: [mm]|t(x)-f(x)| < \epsilon[/mm],
> wobei t die Taylorreihe und f die Ursprungsfunktion ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") edit: Beachte den folgenden Beitrag von leduart und die berechtigte Korrektur mit der notwendigen Präzisierung des Verhaltens "im Unendlichen"!
(vielleicht solltest Du trotzdem noch etwas zu [mm] \varepsilon [/mm] sagen!)
> Beispiel:
> [mm]exp(x)[/mm] wird dargestellt durch [mm]t(x) := \summe_{k=0}^n 1/(k!)*(x-x_0)^k[/mm]
>
> Gegenbeispiel:
> Gibt es da überhaupt was?
Mir fällt grad nichts dazu ein, außer natürlich lineare Funktionen...
> Stimmt das soweit?
> Nun zur 2. Aufgabe:
> Die n-te Ableitung von [mm](1+x)^\alpha[/mm] ist ja:
> [mm](a-n)*(a-(n-1))*...*(a-2)*(a-1)*a*(x+1)^{a-n}[/mm]?
> [mm](1+x)^\alpha = ...[/mm]
Naja, zum einen musst Du dann noch [mm] a=\alpha [/mm] definieren, zum andern ist der Faktor (a-n) zuviel. Denk nochmal drüber nach. Außerdem musst Du noch irgendwie einbeziehen, dass man nach Deiner Formel womöglich nicht beliebig viele Ableitungen bilden kann. Und schließlich brauchst Du noch eine hübsche Summenschreibweise für Deine Taylorreihe. Sonst aber: gut so.
> [mm]log(x+1) = ...[/mm]
>
> Wie mache ich das?
[mm] \bruch{d}{dx}\ln{(x+1)}=\bruch{1}{x+1}=(x+1)^{-1}
[/mm]
Weiter nach der Potenzregel, die Du ja schon oben angewandt hast.
Grüße,
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Mo 09.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Leider ist die Antwort davor nicht ganz korrekt!
Die richtige ist: fuer alle x, fuer die das Restglied [mm] R_n [/mm] fuer n gegen [mm] \infty [/mm] gegen 0 strebt. stellt die Taylorreihe die fkt dar.
Das mit dem Unterschied zwischen der unendlichen Reihe und f ist nicht das Kriterium, denn die Taylorreihe soll ja (im Gegensatz zu einem Taylorpol. die fkt nicht annaehern sondern dasselbe sein. (die Reihe geht immer bis [mm] \infty)
[/mm]
Beispiele: [mm] e^x, [/mm] sinx
Gegenbeispiele faellt mir nur [mm] exp(-1/x^2) [/mm] ein, um 0 entwickelt. hat als TR alle Summanden 0 [mm] R_n [/mm] ist fuer jedes x konstant = dem Funktionswert.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:14 Mo 09.02.2009 | | Autor: | reverend |
Danke für den Hinweis, leduart.
Du hast natürlich Recht, ich hätte diese Präzisierung anmahnen müssen. Die Bedingung [mm] |t(x)-f(x)|<\varepsilon [/mm] ist ja für jedes [mm] \varepsilon [/mm] zu fordern.
edit: ich glaub, ich schlag doch noch mal ein bisschen nach... Das ist nicht mal halbgar. Spätere Korrektur wohl nötig - und möglich. 
Grüße,
reverend
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