www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenTaylorreihe
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Folgen und Reihen" - Taylorreihe
Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Taylorreihe: Abbruchfehler
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Mi 15.04.2009
Autor: mertim

Aufgabe
Zeigen Sie ,  dass die Approximation der ersten Ableitung
f′(x) = f(x + [mm] \Delta [/mm] x) − f(x)
                 [mm] \Delta [/mm] x
1. Ordnung Genauigkeit hat.


Lösung:
Entwickle f in einer Taylorreihe um x:
f(x + [mm] \Delta [/mm] x) = f(x) + f'(x) [mm] \bruch{\Delta x}{1!} [/mm] + f''(x) [mm] \bruch{(\Delta x)^2}{2!} [/mm] + [mm] O((\Deltax)^3) [/mm]

danach bestimmen sie den Abbruchfehler
Berechne Abbruchfehler  :

theta = [mm] \bruch{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} [/mm] - f'(x) = f''(x) [mm] \bruch{\Delta x}{2!} [/mm] + [mm] O((\Delta x)^2) [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] 1.Ordnung Genauigkeit


1. Was ich hier nicht verstehe wieso die hier f in einer Taylorreihen entwickel um es zu beweisen?
2. Was ist ein Abbruchfehler ? und wieso berechne ich dies ?

Wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen würde  


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:03 Mi 15.04.2009
Autor: HJKweseleit

Wenn man eine Funktion in eine Taylorreihe entwickelt, bekommt man bei vielen Funktionen unendlich viele Glieder heraus (bei Polynomen kommt das Polynom selber wieder heraus). Berechnet man nun einen Funktionswert mit Hilfe der Taylor-Entwicklung, macht man oft nach endlich vielen Schritten halt. Beispiel: Wie kann ein Taschenrechner sin(20°) berechnen? Es gibt eine Taylorreihe mit unendlich vielen Gliedern, der Rechner berechnet vielleicht die ersten 30 davon und macht dann einfach Schluss, weil er ja eigentlich nie fertig würde. Durch diesen "vorzeitigen" Abbruch kommt es zu einem sog. Abbruchfehler, den man abschätzen kann.

Grundsätzlich gilt für den Abbruch nach n Gliedern, wenn f (n+1)-mal differenzierbar ist:

[mm] f(x)=\summe_{i=0}^{n}\bruch{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i +\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} [/mm] , wobei [mm] \xi [/mm] zwischen x und [mm] x_0 [/mm] liegt.

Das letzte Glied ersetzt also alle weiteren Summanden; es sieht genau so aus, wie das nächste in der Reihenfolge, hat aber statt [mm] x_0 [/mm] bei der (n+1)-ten Ableitung das im allgemeinen unbekannte [mm] \xi. [/mm]

Wenn du in deiner Formel [mm]f(x + \Delta x) = f(x) + f'(x)\bruch{(\Delta x)}{1!} + f''(\xi)\bruch{(\Delta x)^2}{2!} [/mm] setzt und [mm] O^3 [/mm] weglässt, wird die Sache noch klarer.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]