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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:08 Mo 11.05.2009 | | Autor: | royalbuds |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Taylorpolynon [mm] $T_4$ [/mm] von $f(x) = [mm] e^x [/mm] cos x$ um den Entwicklungspunkt $x = 0$. Können Sie daraus die Taylorreihe bestimmen? Berechnen
Sie $f(0.5)$ auf 5 Stellen genau (also Restglied kleiner gleich 0.5 ∗ 10^−5) mit Hilfe der Taylorreihe.
Benutzen Sie hierzu keine transzendenten Funktionen! |
Ich hab dann erstmal die ersten vier Ableitungen gebildet:
[mm] $f^{(1)} [/mm] = [mm] e^x [/mm] cos x - [mm] e^x [/mm] sin x$
[mm] $f^{(2)} [/mm] = [mm] -2e^x [/mm] sin x$
[mm] $f^{(3)} [/mm] = [mm] -2e^x [/mm] sin x - [mm] 2e^x [/mm] cos x$
[mm] $f^{(4)} [/mm] = [mm] -4e^x [/mm] cos x$
Taylorpolynom sieht dann so aus:
[mm] $T_4(x) [/mm] = [mm] e^x [/mm] cos x + [mm] (e^x [/mm] cos x - [mm] e^x [/mm] sin x)*x + [mm] \frac{-2e^x sin x}{2!}*x^2 [/mm] + [mm] \frac{-2e^x sin x - 2e^x cos x}{3!}*x^3 [/mm] + [mm] \frac{-4e^x cos x}{4!}*x^4$
[/mm]
Aber irgendwie kann ich hier keine Reihe ableiten und die brauche ich wohl um das irgendwie mit dem Fehler abzuschätzen. Wie muss ich denn weitermachen?
Gruß und Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo royalbuds!
Für die Taylorreihe musst Du in die entsprechenden Ableitungen [mm] $f^{(n)}(x_0)$ [/mm] auch jeweils den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ einsetzen.
Gruß
Loddar
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> Hallo royalbuds!
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> Für die Taylorreihe musst Du in die entsprechenden
> Ableitungen [mm]f^{(n)}(x_0)[/mm] auch jeweils den Wert [mm]x_0 \ = \ 0[/mm]
> einsetzen.
>
Ah ok, dann habe ich die wohl die Definition nicht richtig gelesen.
Jetzt bekomme ich immerhin schon:
[mm] $\frac{1}{0!}*x^0 [/mm] + [mm] \frac{1}{1!}*x^1 [/mm] + [mm] \frac{0}{2!}*x^2 [/mm] + [mm] \frac{-2}{3!}*x^3 [/mm] + [mm] \frac{-4}{4!}*x^4 [/mm] = 1 + x - [mm] \frac{x^3}{3} [/mm] - [mm] \frac{x^4}{3}$
[/mm]
Die Reihe könnte dann irgendwie so aussehen:
[mm] $\summe_{i=0}^{\infty} \frac{?}{i!}*x^i$
[/mm]
Aber was kommt oben hin, zumal ja ein Term (i=2) ja ganz verschwindet und das Vorzeichen anscheinend ja nur bei jedem zweiten Schritt wechselt?
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Hallo royalbuds,
ein ernstgemeinter Vorschlag: mach mal noch vier Ableitungen, dann siehst Du sicher die Regelmäßigkeit der Taylorreihe. Einfach zu formulieren ist sie nicht, es sei denn Du schreibst tatsächlich vier Terme in Deine Summe oder findest eine geschickte Darstellung der Koeffizientenfolge.
Grüße
reverend
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Nach stundemlangen hin und her geb ichs auf :) Is wohl ein Trick dabei den ich nicht beherrsche.
Danke an die Helfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Mo 11.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Nach stundemlangen hin und her geb ichs auf :) Is wohl ein
> Trick dabei den ich nicht beherrsche.
>
> Danke an die Helfer
Hallo,
wie wäre es denn, wenn du für [mm] e^x*cos(x) [/mm] einfach die beiden Taylorentwicklungen
[mm] e^x=(1+x+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...
[/mm]
únd [mm] cos(x)=1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-\bruch{x^6}{6!}\pm...
[/mm]
ausmultiplizierst?
Da es unendlich viele Summanden sind, musst du natürlich so ordnen, dass du erst alle Teilergebnisse mit [mm] x^0, [/mm] dann alle Teilergebnisse mit [mm] x^1, [/mm] dann [mm] x^2 [/mm] usw. erhältst. Abbrechen kannst du, wenn der Zuwachs zu klein wird.
Gruß Abakus
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Ok, hier ist nun mein Ergebnis:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \frac{x^{2n-k}*(-1)^{n-k}}{k!*(2n-2k)!}
[/mm]
Kann man das noch weiter vereinfachen? Stimmt das ueberhaupt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mo 11.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Ok, hier ist nun mein Ergebnis:
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> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \frac{x^{2n-k}*(-1)^{n-k}}{k!*(2n-2k)!}[/mm]
>
> Kann man das noch weiter vereinfachen? Stimmt das
> ueberhaupt?
Reichlich verworren. Dein Laufindex ist i, und dann tauchen noch undefinierte Zahlen n und k auf.
Gruß Abakus
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