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Hallo zusammen
Ich habe folgende Aufgabe, die ich nur teilweise lösen kann:
In der Physik treten oft Abhängigkeiten von kleinen Grössen auf. Im allgemeinen ist es dann eine sehr gute Näherung, die entsprechenden Gleichungen nach Potenzen dieser kleinen Grösse zu entwickeln (Taylor Entwicklung). Meist kann mit hinreichender Genauigkeit eine Entwicklung nach dem ersten Term abgebrochen werden. Geben Sie für die folgenden Funktionen f(x) brauchbare Näherungen für kleine x an:
a) f(x) = cos(x)
b) f(x) = [mm] sin(x_{0} [/mm] + x)
c) f(x) = 1/(1 [mm] \pm [/mm] x)
d) f(x) = [mm] \wurzel{1 \pm x}
[/mm]
e) f(x) = (1 [mm] \pm x)^{n}
[/mm]
a) cos(x) = 1 - [mm] x^{2}/2! [/mm] + [mm] x^{4}/4!
[/mm]
Für kleine x --> x [mm] \approx [/mm] 0 --> cos(x)=1
Wie aber gehen jetzt b)-e)?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mi 07.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Babybel!
Wie hast Du denn die 1. Teilaufgabe gelöst? Genauso geht es bei den anderen:
Bilde die ersten Glieder der jeweiligen ![[]](/images/popup.gif) Taylor-Reihe.
Bei Aufgabe b.) ist darauf zu achten, dass der Entwicklungspunkt nicht $a \ = \ 0$ sondern $a \ = \ [mm] x_0$ [/mm] beträgt.
Gruß
Loddar
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Hallo!
Naja, [mm] $\cos(x)\approx [/mm] 1$ ist keine so gute Näherung, weil damit die x-Abhängigkeit an dieser Stelle komplett raus fliegt.
Willst du beispielsweise die pot. Energie eines Fadenpendels über dessen Länge l und Auslenkwinkel x annähern, wäre $E=l*(1- [mm] \cos(x))*m*g\approx [/mm] 0$
Daher solltest du mindestens so weit gehen, bis du einen ersten x-Term in deiner Näherung hast. $E=l*(1- [mm] \left(1-\frac{1}{2}x^2)\right)*m*g=\frac{1}{2}x^2*l*m*g$ [/mm] . Das paßt besser!
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