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Forum "Differentiation" - Taylorreihe
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Taylorreihe: Kontrolle meiner Lösung der Au
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Fr 26.03.2010
Autor: Julia031988

Aufgabe
Berechnen Sie für die Funktion f(x)= [mm] 1+3*(cosx)^2 [/mm] die Taylorreihe bis zum dritten Glied, das ist eine quadratische Funktion, an der Stelle a=0.

Mein Rechenweg. Wäre nett wenn das einer kontrollieren könnte.

f(x)= 1+3* [mm] (cosx)^2 [/mm]
f´(x)= -6*sin (x)* cos(x)
f"(x)= 6-12* [mm] (cos(x))^2 [/mm]

a=0

f(0)= 1+3* [mm] (cos0)^2 [/mm] = 4
f´(0)= -6*sin(0)*cos(0)= 0
f"(0)= [mm] 6-12*(cos(0))^2= [/mm] -6

f(0)+f´(0)*(x-a)+ 1/2 [mm] *f"(0)*(x-a)^2 [/mm]

[mm] 4+0*(x-0)+1/2*(-6)*(x-0)^2 [/mm]
= 4-3,0* [mm] x^2 [/mm]


Ich hoffe das ist so korrekt. Kommt dann nämlich so in die mitnehmmappe zur Prüfung.
        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Fr 26.03.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Julia,

> Berechnen Sie für die Funktion f(x)= [mm]1+3*(cosx)^2[/mm] die
> Taylorreihe bis zum dritten Glied, das ist eine
> quadratische Funktion, an der Stelle a=0.
>  Mein Rechenweg. Wäre nett wenn das einer kontrollieren
> könnte.
>  
> f(x)= 1+3* [mm](cosx)^2[/mm] [ok]
>  f´(x)= -6*sin (x)* cos(x) [ok]
>  f"(x)= 6-12* [mm](cos(x))^2[/mm] [notok]

Was ist mit der Produktregel??

>  
> a=0
>  
> f(0)= 1+3* [mm](cos0)^2[/mm] = 4 [ok]
>  f´(0)= -6*sin(0)*cos(0)= 0 [ok]
>  f"(0)= [mm]6-12*(cos(0))^2=[/mm] -6 [ok]

Trotz falscher Ableitung ...

>  
> f(0)+f´(0)*(x-a)+ 1/2 [mm]*f"(0)*(x-a)^2[/mm] [ok]
>  
> [mm]4+0*(x-0)+1/2*(-6)*(x-0)^2[/mm] [ok]
>  = 4-3,0* [mm]x^2[/mm] [ok]

[mm] $=-3x^2+4$ [/mm]

>  
>
> Ich hoffe das ist so korrekt. Kommt dann nämlich so in die
> mitnehmmappe zur Prüfung.

Kannste bis auf die eine Ableitung mitnehmen ;-)

Gruß

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Fr 26.03.2010
Autor: Julia031988

Ich dachte immer die Produktregel wendet man an, wenn man 2 Funktionen hat. Wie soll das denn sonst gehen? Man braucht doch 2 Grundfunktionen und deren erste Ableitung.
Das die Aufgabe trotzdem richtig ist, ist ja sicher nur Zufall und kann in einem anderen Fall ganz anders aussehen oder?
Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Fr 26.03.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Die Produktregel braucht man, wenn man eine Funktion ableiten will, die aus (zwei) Faktoren besteht, die man eben nicht weiter zusammenfassen kann (oder will)

Beispiel

[mm] f(x)=\underbrace{x}_{u}*\underbrace{e^{3x^{2}}}_{v} [/mm]

[mm] f'(x)=\underbrace{x}_{u}*\underbrace{(e^{3x^{2}}*(6x))}_{v' (Kettenregel)}+\underbrace{1}_{u'}*\underbrace{e^{3x^{2}}}_{v} [/mm]
[mm] =6x^{2}*e^{3x^{2}}-e^{3x^{2}} [/mm]
[mm] =\underbrace{(6x^{2}-1)}_{p}*\underbrace{e^{3x^{2}}}_{q} [/mm]

Also:
[mm] f''(x)=\underbrace{(6x^{2}-1)}_{p}*\underbrace{e^{3x^{2}}*6x}_{q'}+\underbrace{3x}_{p'}*\underbrace{e^{3x^{2}}}_{q} [/mm]
[mm] =(36x^{3}-6x+3x)*e^{3x^{2}} [/mm]
[mm] =(36x^{3}-3x)*e^{3x^{2}} [/mm]

Marius
Bezug
                        
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Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Fr 26.03.2010
Autor: leduart

Hallo
Du hast doch das Produkt von 2 Funktionen, u*v mit  u=sin(x), v=cos(x)
in deiner ersten Ableitung.
Gruss leduart
Bezug
                                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Mo 29.03.2010
Autor: Julia031988

Also so wie ich die Produktregel rausgesucht habe, lautet sie folgendermaßen:

(f(x)*g(x))´=f´(x)*g(x)+f(x)*g´(x)

Das bedeutet ich brauche ein g(x) und ein f(x).

Macht man das dann also so, dass man -6sin(x)= f(x) nimmt und cos(x) = g(x). Davon dann noch die Ableitung:
f´(x)= -6cos(x)
g´= -sin(x)

Und jetzt einfach einsetzen. Wäre das richtig?
Bezug
                                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mo 29.03.2010
Autor: MaRaQ


> Also so wie ich die Produktregel rausgesucht habe, lautet
> sie folgendermaßen:
>  
> (f(x)*g(x))´=f´(x)*g(x)+f(x)*g´(x)

Ja, das ist ungewöhnlich notiert, aber korrekt.

Ich kenne die eher als
f(x) = u(x) * v(x)
f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

Das finde ich naheliegender in der Notation aber im Endeffekt läufts (richtig angewendet) eh aufs Gleiche raus.

Zur Erinnerung: Die betrachtete Funktion lautet (ich bennene sie mal anders, damit wir nicht mit deinen g's und f's durcheinanderkommen):

[mm]z(x) = -6*sin(x)*cos(x)[/mm]

> Das bedeutet ich brauche ein g(x) und ein f(x).
>  
> Macht man das dann also so, dass man -6sin(x)= f(x) [ok] nimmt
> und cos(x) = g(x). [ok] Davon dann noch die Ableitung:
>  f´(x)= -6cos(x) [ok]
>  g´(x)= -sin(x) [ok]

>
> Und jetzt einfach einsetzen. Wäre das richtig?  

Ja, jetzt nur noch die 4 Terme richtig in die Formel einsetzen. :-)

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