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| Aufgabe | | Berechne die Taylorreihe [mm] T_{log,1} [/mm] der Funktion [mm] log:\IR^{>0} \to \IR [/mm] um den Punkt 1. Bestimme ihren Konvergenzradius r, und zeige, dass für alle x [mm] \in [/mm] (1-r,1+r) gilt: [mm] T_{log,1}(x)=log(x). [/mm] |
Hallo,
da ich bald eine Klausur schreibe, ist es für mich sehr wichtig, diese Aufgabe zu können.
Könnte mir bitte jemand dabei helfen?
Vielen Dank im Voraus,
mastermoney
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wenn ich das richtig verstehe, sollst du ja erst einmal das Taylorpolynom aufstellen, richtig? Dann mach das dochmal, denn du weißt ja, dass gelten muss:
$ T_n(X)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(x_0)}{n!}*(x-x_0)^n} $
wobei hier wohl x_0=1 sein soll
Wenn du das Reihenbildungsgesetzt hast, was wohl irgendwas mit 1/n + (-1)^n für das Vorzeichen sein wird, kannst du ein Konvergenzkriterium anwenden
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Muss ich bei Taylorreihen nicht immer erst mit Ableitungen anfangen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mastermoney!
> Muss ich bei Taylorreihen nicht immer erst mit Ableitungen
> anfangen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und dann (wenn möglich) eine Regelmäßigkeit erkennen.
Gruß
Loddar
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Ich habe inzwischen für den Konvergenzradius [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{n+1}{n}|=1 [/mm] herausbekommen.
Wie aber zeige ich jetzt, dass für alle x [mm] \in [/mm] (1-r,1+r) gilt: [mm] T_{log,1}(x)=log(x)?
[/mm]
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
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Freut mich zu hören ;) Klar brauchst du die Ableitungen, das meinte ich ja mit: Reihengesetzt aufstellen, dass du über 1/x, [mm] -1/x^2 [/mm] etc erhälst.
Nun, es sollte ja gelten:
f(x)=T(x)+R(x), also Taylorpolynom + Restglied. Man kann aber auch sagen, dass die Taylor-Reihe für n gegen [mm] \infty [/mm] die Funktion f wird, da das Restglied dann 0 ist.
> Ich habe inzwischen für den Konvergenzradius
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{n+1}{n}|=1[/mm]
> herausbekommen.
> Wie aber zeige ich jetzt, dass für alle x [mm]\in[/mm] (1-r,1+r)
> gilt: [mm]T_{log,1}(x)=log(x)?[/mm]
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen
> könnte.
Ich weiß jetzt auch nicht genau, was du noch zeigen sollst. Sofern du ein Taylorpolynom n-ten Grades aufstellen sollst, ist das per se mit der Funktion f identisch, sofern es konvergent ist, was du ja nachgewiesen hast mit dem Konvergenzkriterium und dem Konvergenzradius 1. Damit hast du gezeigt, dass die Reihe für x [mm] \in \IR [/mm] zwischen -1 und 1 konvergent ist und damit kann die Taylor-Reihe die Funktion f darstellen. An sich kenne ich jetzt nur weitere Untersuchungen für z.B. bestimmte Grade wie 5. Grad, wo man dann zeigt, dass das Lagrange-Restglied gegen 0 geht für n gegen unendlich und daher das ganze f darstellt, naja aber da du hier nur ne allgemeine Untersuchung machst, bist du, glaube ich, fertig, oder?
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Vielen Dank für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Mo 05.04.2010 | | Autor: | thegeni |
Hi, erstmal ich schreibe warscheinlich die selbe Klausur,
aber bist du dir sicher das der konvergenzradius 1 ist.
ich meine er ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(n+1)!}{n!}| [/mm] = [mm] \infty, [/mm] du hast das ! in der quotienten regel vergessen.
Aber ich hab auch noch ne frage unzwar denke ich das wir prüfen müssen ob das restglied gegen 0 geht aber da weis ich auch nicht genau wie das geht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mo 05.04.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo thegeni,
untersuche deinen Quotienten nochmal genau, ich bezweifle dass da der Konvergenzradius [mm] \infty [/mm] herauskommt! Außerdem ist der Logarithmus an der Stelle x = 0 nicht definiert, d.h. wenn man um 1 entwickelt, kann der Konvergenzradius nur maximal 1 sein.
Zur Abschätzung des Restgliedes wäre es gut, wenn du dein Restglied mal angibst!
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