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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 So 18.09.2011 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | Meine Funktion lautet [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
mit der Entwicklungsstelle [mm] x_{0}=-5 [/mm] |
Ich habe die allgemeine Form so dargestellt:
[mm] f^{n}(x)=(-1)^{n}*n!+\bruch{1}{x^{n+1 }}
[/mm]
Dann habe ich das in Taylorreihe eingesetzen, n! gekürzt, den zähler zusammengefasst und mit der Potenzregel umgeformt,
komme ich auf:
[mm] T_{f}(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{-x^{n}}{-5}
[/mm]
Ist mein Ergebnis richtig?
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> Meine Funktion lautet [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> mit der Entwicklungsstelle [mm]x_{0}=-5[/mm]
> Ich habe die allgemeine Form so dargestellt:
> [mm]f^{n}(x)=(-1)^{n}*n!+\bruch{1}{x^{n+1 }}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann habe ich das in Taylorreihe eingesetzen, n! gekürzt,
> den zähler zusammengefasst und mit der Potenzregel
> umgeformt,
> komme ich auf:
> [mm]T_{f}(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{-x^{n}}{-5}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Ist mein Ergebnis richtig?
Nein. Du solltest in die Formel
$\ [mm] T_f(x)\ [/mm] =\ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(x_0)}{n!}*(x-x_0)^n$
[/mm]
einsetzen, mit [mm] x_0=-5 [/mm] (und dann natürlich auch die
Konvergenzbedingungen beachten).
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 So 18.09.2011 | | Autor: | Balsam |
Da ist mir ein Tipfehler unterlaufen, bei der allg. Form müsste es doch ein Mal sein anstatt des Plus...
dann sieht das so aus:
$ \ [mm] T_f(x)\ [/mm] =\ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot{}(x-x_0)^n [/mm] $ [mm] =\bruch{(-1)^{n}\cdot{}n!+\bruch{1}{(-5)^{n+1 }}}{n!}*(x+5)^{n}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 So 18.09.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Balsam!
> dann sieht das so aus:
>
> [mm]\ T_f(x)\ =\ \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot{}(x-x_0)^n[/mm] [mm]=\bruch{(-1)^{n}\cdot{}n!+\bruch{1}{(-5)^{n+1 }}}{n!}*(x+5)^{n}[/mm]
Hinter dem 2. Gleichheitszeichen fehlt das Summenzeichen.
Und im Zähler des Bruches hast Du doch selber festgestellt: Malpunkt statt Pluszeichen.
Dann kannst Du auch noch schön kürzen und zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 So 18.09.2011 | | Autor: | Balsam |
[mm] T_{f}(x)$ [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}\cdot{}n!*\bruch{1}{(-5)^{n+1 }}}{n!}\cdot{}(x+5)^{n} [/mm] $ = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-x-5)^{n}}{(-5)^{n+1}}
[/mm]
und wenn ich jetzt die Potenzregel anwende und die [mm] (-5)^{n} [/mm] kürze, komme ich wieder auf
[mm] T_{f}(x)$ [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{-x^{n}}{-5}
[/mm]
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> [mm]T_{f}(x)[/mm] [mm]= \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}\cdot{}n!*\bruch{1}{(-5)^{n+1 }}}{n!}\cdot{}(x+5)^{n}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-x-5)^{n}}{(-5)^{n+1}}[/mm]
> und
> wenn ich jetzt die Potenzregel anwende und die [mm](-5)^{n}[/mm]
> kürze, komme ich wieder auf
> [mm]T_{f}(x)$[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{-x^{n}}{-5}[/mm]
Naja.
Diese Kürzerei solltest du schon im Detail vorführen ...
Du kennst doch den Spruch:
"Aus Summen kürzen nur die Krummen"
(oder so ähnlich ...)
Und (-x-5) ist nun mal auch eine Summe (bzw. Differenz), und
es gilt beispielsweise
$\ [mm] (-x-5)^{n}\ [/mm] =\ [mm] (-1)^n\,*\,(x+5)^n$
[/mm]
und $\ [mm] (-5)^{n+1}\ [/mm] =\ [mm] (-5)^{n}*(-5)^1\ [/mm] =\ [mm] (-1)^n*5^n*(-1)*5\ [/mm] =\ [mm] -\,1*(-1)^n*5^{n+1} [/mm] $
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 So 18.09.2011 | | Autor: | Balsam |
Ich habe jetzt mal weiter gerechnet und komme auf
[mm] T_{f}=$ \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(x+5)^{n}}{-5^{n+1}} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 Mo 19.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig!
und die methode ist immer richtig, die mit der geom. reihe nur wenn du eben in a/(1-q) umformen kannst.
Gruss leduart
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> Ich habe jetzt mal weiter gerechnet und komme auf
> [mm]T_{f}=[/mm] [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(x+5)^{n}}{-5^{n+1}}[/mm]
um dieses Ergebnis etwas angenehmer aussehen zu
lassen, würde ich das Minuszeichen nach vorne setzen:
[mm]T_{f}=\ -\,\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(x+5)^{n}}{5^{n+1}}[/mm]
(andernfalls kommt bestimmt noch jemand auf die
Idee, den Term so zu interpretieren:
[mm]T_{f}=\ \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(x+5)^{n}}{(-5)^{n+1}}[/mm]
was kompletter Unsinn wäre ...)
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mo 19.09.2011 | | Autor: | Balsam |
Vielen Dank erst Mal für die Hilfe.
Ich habe aber noch eine Frage dazu.
Wie gehe bei einer sinus- Funktion vor?
Da wechselt sich das ja immer mit sinus und cosinus ab (Ableitungen)
Wenn ich z.b [mm] f_{x}=sin(x) [/mm] mit der Entwicklungsstelle [mm] x_{0}=\bruch{\pi}{2} [/mm] habe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mo 19.09.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Balsam!
> Wie gehe bei einer sinus- Funktion vor?
Genauso: bilde die ersten Ableitungen, setze [mm] $x_0$ [/mm] ein und versuche eine Regelmäßigkeit zu erkennen.
> Da wechselt sich das ja immer mit sinus und cosinus ab
> (Ableitungen)
Ja, und?
> Wenn ich z.b [mm]f_{x}=sin(x)[/mm] mit der Entwicklungsstelle
> [mm]x_{0}=\bruch{\pi}{2}[/mm] habe
Für eine neue Aufgabe eröffne aber bitte auch einen neuen Thread.
Gruß
Loddar
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Hallo Balsam,
als Ergänzung ein Tipp, wie du die Taylorreihe (bzw. Potenzreihe) ohne Ableitungen allein durch das Zurückgreifen auf die bekannte geometr. Reihe
[mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}[/mm] für [mm]|q|<1[/mm]
herleiten kannst:
Dazu forme [mm]\frac{1}{x}[/mm] um:
[mm]\frac{1}{x}=\frac{-1}{-x}=\frac{-1}{5-x-5}=\frac{-1}{5-(x+5)}=\frac{-1}{5\cdot{}\left(1-\frac{x+5}{5}\right)}[/mm]
[mm]=-\frac{1}{5}\cdot{}\frac{1}{1-\frac{x+5}{5}}=-\frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{x+5}{5}\right)^k[/mm]
Nun du:
1) Für welche [mm]x[/mm] gilt das und
2) Bringe das noch in die Form [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}(x+5)^k[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 So 18.09.2011 | | Autor: | Balsam |
Bei dieser Methode hatte ich Probleme bei der Umformung von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] und habe deswegen die Methode mit den Ableitungen versucht.
Wie kommst du auf $ [mm] \frac{1}{x}=\frac{-1}{-x}=\frac{-1}{5-x-5}=\frac{-1}{5-(x+5)}=\frac{-1}{5\cdot{}\left(1-\frac{x+5}{5}\right)} [/mm] $ ?
Welche Methode kann man für alle Taylorreihen anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:36 Mo 19.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die herleitung steht doch ausführlich da, und dass man q=x+5 haben wollte war das Ziel
Gruss leduart
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