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Hallo Leute, habe mal wieder eine Frage zu Reihenentwicklungen. Ich soll die Taylorreihe von [mm] \[\bruch{1}{z^{2}-7z+12}\] [/mm] um [mm] \[z_{0}=0\] [/mm] finden. Ich habe diese Funktion zuerst in Partialbrüche zerlegt:
[mm] \[\bruch{1}{z-4}-\bruch{1}{z-3}\]
[/mm]
und habe nun die Reihen dieser beiden Partiabrüche bestimmt:
[mm] \[\bruch{1}{z-4}=-1/4-z/16-z^{2}/64...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)4^{-1-n}z^{n}\]
[/mm]
und [mm] \[\bruch{1}{z-3}=-1/3-z/9-z^{2}/27...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)3^{-1-n}z^{n}\]
[/mm]
Insgesamt ist die Taylorreihe dann
[mm] \[-7/12-25z/144-91z^{2}/1728...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)(12^{-1-n}(3^{n+1}+4^{n+1}))z^{n}\]
[/mm]
Stimmt das soweit?
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Hallo MaxPlanck,
> Hallo Leute, habe mal wieder eine Frage zu
> Reihenentwicklungen. Ich soll die Taylorreihe von
> [mm]\[\bruch{1}{z^{2}-7z+12}\][/mm] um [mm]\[z_{0}=0\][/mm] finden. Ich habe
> diese Funktion zuerst in Partialbrüche zerlegt:
> [mm]\[\bruch{1}{z-4}-\bruch{1}{z-3}\][/mm]
> und habe nun die Reihen dieser beiden Partiabrüche
> bestimmt:
>
> [mm]\[\bruch{1}{z-4}=-1/4-z/16-z^{2}/64...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)4^{-1-n}z^{n}\][/mm]
> und
> [mm]\[\bruch{1}{z-3}=-1/3-z/9-z^{2}/27...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)3^{-1-n}z^{n}\][/mm]
> Insgesamt ist die Taylorreihe dann
> [mm]\[-7/12-25z/144-91z^{2}/1728...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)(12^{-1-n}(3^{n+1}+4^{n+1}))z^{n}\][/mm]
> Stimmt das soweit?
Ja, das stimmt soweit.
Gruss
MathePower
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Ok, und wie bestimmen ich den Konvergenzradius. Ich meine, ich kenne die Formel, aber aus irgenweinem Grund kann ich sie nicht richtig anwenden. Es ist klar, das der Konvergenzradius 3 ist, das genau der Kreis im Analytizitätsgebiet ist, aber ich brauche auch eine Rechnung.
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Hallo MaxPlanck,
> Ok, und wie bestimmen ich den Konvergenzradius. Ich meine,
> ich kenne die Formel, aber aus irgenweinem Grund kann ich
> sie nicht richtig anwenden. Es ist klar, das der
> Konvergenzradius 3 ist, das genau der Kreis im
> Analytizitätsgebiet ist, aber ich brauche auch eine
> Rechnung.
Den Konvergenzradius kannst Du hier z.B.
mit Hilfe des Quotientenkriteriums berechnen.
Bilde dazu den Quotient zweier aufeinanderfolgende Reihenglieder.
Gruss
MathePower
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Das habe ich gemacht:
[mm] \[\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)12^{-1-n}(3^{n+1}+4^{n+1})}{(-1)12^{-n}(3^{n+2}+4^{n+2})}\]
[/mm]
[mm] \[\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(3^{n+1}+4^{n+1})}{12(3^{n+2}+4^{n+2})}\]
[/mm]
Und wenn ich jetzt den Limes auswerte, kommt 1/48 raus. Hmmm. Wo ist der Fehler?
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Hallo MaxPlanck,
> Das habe ich gemacht:
> [mm]\[\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)12^{-1-n}(3^{n+1}+4^{n+1})}{(-1)12^{-n}(3^{n+2}+4^{n+2})}\][/mm]
>
> [mm]\[\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(3^{n+1}+4^{n+1})}{12(3^{n+2}+4^{n+2})}\][/mm]
> Und wenn ich jetzt den Limes auswerte, kommt 1/48 raus.
> Hmmm. Wo ist der Fehler?
>
Der zu untersuchende Ausdruck muss doch lauten:
[mm]\[\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)12^{-1-n}(3^{n+1}+4^{n+1})}{(-1)12^{-\red{2}-n}(3^{n+2}+4^{n+2})}\][/mm]
Dann steht hier:
[mm] \[\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12*(3^{n+1}+4^{n+1})}{(3^{n+2}+4^{n+2})}\] [/mm]
Gruss
MathePower
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Aha. Das sehe ich noch nicht ganz. Für [mm] \[a_{n}\] [/mm] ist ja [mm] \[12^{-1-n}\], [/mm] als für [mm] \[a_{n+1}\] [/mm] dementsprechend [mm] \[12^{-1-n+1}=12^{-n}\]? [/mm] Aber ja, dann stimmt das Ergebnis.
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Hallo MaxPlanck,
> Aha. Das sehe ich noch nicht ganz. Für [mm]\[a_{n}\][/mm] ist ja
> [mm]\[12^{-1-n}\],[/mm] als für [mm]\[a_{n+1}\][/mm] dementsprechend
> [mm]\[12^{-1-n+1}=12^{-n}\]?[/mm] Aber ja, dann stimmt das Ergebnis.
Hier sind die Klammern um n+1 zu setzen, vergessen worden:
[mm]12^{-1-\left(n+1\right)}=12^{-1-n-1}=12^{-2-n}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Do 31.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Die von Dir ermittele Reihendarstellung von [mm] \bruch{1}{z-4} [/mm] konvergiert für |z|<4
Die von Dir ermittele Reihendarstellung von [mm] \bruch{1}{z-3} [/mm] konvergiert für |z|<3
Damit ist der gesuchte Konvergenzradius = 3
FRED
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