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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 So 22.07.2012
Autor: rollroll

Aufgabe
Bestimme die Taylorreihe der Funktion f:IR-->IR mit f(x)=(x-1)^2012 um den Punkt a = 0.

Ich weiß dass bei ganzrationalen Funktionen die Taylorreihe der Fkt selbst entspricht, trotzdem möchte ich die Funktion gerne als Reihe schreiben:

f'(x)=2012(x-1)^2011
f''(x)=2012*2011*(x-1)^2010 usw.

f'(0)=-2012
f''(0)=2012*2011
Ableitung wechselt immer das VZ und ab der 2012. Abl ist die Abl 0.

Ist dann folgende Reihe ok:

[mm] \summe_{k=0}^{2012} \bruch{(-1)^k * 2012!}{(2012-k)!}x^k [/mm]

        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 So 22.07.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimme die Taylorreihe der Funktion f:IR-->IR mit
> f(x)=(x-1)^2012 um den Punkt a = 0.
> Ich weiß dass bei ganzrationalen Funktionen die
> Taylorreihe der Fkt selbst entspricht, trotzdem möchte ich
> die Funktion gerne als Reihe schreiben:
>
> f'(x)=2012(x-1)^2011
> f''(x)=2012*2011*(x-1)^2010 usw.
>
> f'(0)=-2012
> f''(0)=2012*2011
> Ableitung wechselt immer das VZ und ab der 2012. Abl ist
> die Abl 0.
>
> Ist dann folgende Reihe ok:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{2012} \bruch{(-1)^k * 2012!}{(2012-k)!}x^k[/mm]

Da kann etwas nicht ganz stimmen. Bedenke, dein Funktionsterm ist ein Binom. Die Koeffizienten deiner Reihe sollten daher Binomialkoeffizienten sein. Allerdings: das, was schon dasteht, ist richtig, es fehlt nur noch etwas. :-)


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 So 22.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo rollroll,

kleine Ergänzung zu Diophants Antwort, der einen Tick schneller war ;-)

Mit seinem Hinweis, [mm]f(x)=(x-1)^{2012}[/mm] als Binom zu erkennen, kannst du dir jegliches Ableiten und sämtliches Nachdenken ersparen, wenn du mal den binomischen Lehrsatz herauskramst ...

Damit steht alles da ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 So 22.07.2012
Autor: rollroll

Ok, dann also so:

[mm] \summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \vektor{2012 \\ k} x^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \bruch{2012!}{k!(2012-k)!}x^k [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 So 22.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Ok, dann also so:
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \vektor{2012 \\ k} x^k[/mm] = [ok]
> [mm]\summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \bruch{2012!}{k!(2012-k)!}x^k[/mm] ?

Jo, wegen [mm]\vektor{n\\ k}=0[/mm] für [mm]k>n[/mm], kannst du das auch als unendliche Reihe schreiben:

[mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\vektor{2012\\ k}\cdot{}x^k[/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:35 So 22.07.2012
Autor: fred97


> Hallo nochmal,
>  
>
> > Ok, dann also so:
>  >  
> > [mm]\summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \vektor{2012 \\ k} x^k[/mm] =
> [ok]


Hallo schachuzipus,

mit [ok] bin ich nicht einverstanden:

https://matheraum.de/read?i=904406

Gruß FRED

>  > [mm]\summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \bruch{2012!}{k!(2012-k)!}x^k[/mm]

> ?
>
> Jo, wegen [mm]\vektor{n\\ k}=0[/mm] für [mm]k>n[/mm], kannst du das auch
> als unendliche Reihe schreiben:
>  
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\vektor{2012\\ k}\cdot{}x^k[/mm]
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  


Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 So 22.07.2012
Autor: fred97


> Ok, dann also so:
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \vektor{2012 \\ k} x^k[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{2012} (-1)^k \bruch{2012!}{k!(2012-k)!}x^k[/mm] ?


Nein das stimmt nicht !



    [mm] (x+y)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} [/mm]

Schau Dir mal dir Exponenten von x und y an. Siehst Du deinen Fehler ?

Edit: https://matheraum.de/read?i=904411
FRED

Bezug
                                
Bezug
Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:36 So 22.07.2012
Autor: schachuzipus

Moinsen Fred,

aber das ist doch symmetrisch, ebenso:

[mm] $(x-1)^{2012}=\sum\limits_{k=0}^{2012}\vektor{2012\\k}(-1)^{2012-k}x^k$ [/mm]

Und [mm] $(-1)^{2012-k}=(-1)^k$ [/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                        
Bezug
Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:42 So 22.07.2012
Autor: fred97


> Moinsen Fred,
>  
> aber das ist doch symmetrisch, ebenso:
>  
> [mm](x-1)^{2012}=\sum\limits_{k=0}^{2012}\vektor{2012\\k}(-1)^{2012-k}x^k[/mm]
>  
> Und [mm](-1)^{2012-k}=(-1)^k[/mm]

Upps ! Nichts ist schwieriger, als genau hinsehen ! Klar Du hast recht.

Ob dem Fragesteller auch klar war, dass er es richtig hat, weil n=2012 gerade ist ?

FRED

>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  


Bezug
                                                
Bezug
Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 So 22.07.2012
Autor: schachuzipus

Aye!


> > Moinsen Fred,
>  >  
> > aber das ist doch symmetrisch, ebenso:
>  >  
> >
> [mm](x-1)^{2012}=\sum\limits_{k=0}^{2012}\vektor{2012\\ k}(-1)^{2012-k}x^k[/mm]
>  >  
> > Und [mm](-1)^{2012-k}=(-1)^k[/mm]
>  
> Upps ! Nichts ist schwieriger, als genau hinsehen ! Klar Du
> hast recht.
>  
> Ob dem Fragesteller auch klar war, dass er es richtig hat,
> weil n=2012 gerade ist ?

Das habe ich ihm stillschweigend unterstellt ...

Charmanten Sonntag noch!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                        
Bezug
Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:46 So 22.07.2012
Autor: fred97


> Aye!
>  
>
> > > Moinsen Fred,
>  >  >  
> > > aber das ist doch symmetrisch, ebenso:
>  >  >  
> > >
> > [mm](x-1)^{2012}=\sum\limits_{k=0}^{2012}\vektor{2012\\ k}(-1)^{2012-k}x^k[/mm]
>  
> >  >  

> > > Und [mm](-1)^{2012-k}=(-1)^k[/mm]
>  >  
> > Upps ! Nichts ist schwieriger, als genau hinsehen ! Klar Du
> > hast recht.
>  >  
> > Ob dem Fragesteller auch klar war, dass er es richtig hat,
> > weil n=2012 gerade ist ?
>  
> Das habe ich ihm stillschweigend unterstellt ...
>  
> Charmanten Sonntag noch!


Ebenso

Gruß FRED

>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  


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