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| Aufgabe | ok ihr habt mich überzeugt ich verbessere die Aufgabe mal...
Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=cos(2x+\bruch{\pi}{2}).
[/mm]
a) Entwickeln Sie die Taylorreihe für f(x) für den Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0.
[/mm]
b) Geben Sie [mm] T_{6}(x) [/mm] ohne Summenzeichen an.
c) Ist f(x) eine gerade oder ungerade Funktion ?
Lösung für Aufgabe a):
es gilt: [mm] f(x)=f(0)+\bruch{f'(0)}{1!}*x+\bruch{f''(0)}{2!}*x^2+\bruch{f'''(0)}{3!}*x^3+...+
[/mm]
[mm] f'(x)=-2*sin(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] f''(x)=-4*cos(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] f'''(x)=8*sin(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] f''''(x)=16cos(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] f'''''(x)=-32sin(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] f''''''(x)=-64cos(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] f(0)=0-2x+\bruch{8}{3!}*x^3-\bruch{32}{5!}*x^5
[/mm]
passen die Ableitungen jetzt soweit?
Meine Vermutung für die Reihe bleibt aber bei dieser hier:
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-2)^n*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)}
[/mm]
Aufgabenteil b):
Mein Lösungsansatz
[mm] 0-\bruch{2*sin(2*0+\bruch{\pi}{2})}{1!}\cdot{}(x)-\bruch{4*cos(2*0+\bruch{\pi}{2})}{2!}\cdot{}(x)^2+\bruch{8*sin(2*0+\bruch{\pi}{2})}{3!}\cdot{}(x)^3+\bruch{16*sin(2*0+\bruch{\pi}{2})}{4!}\cdot{}(x)^4-\bruch{32*cos(2*0+\bruch{\pi}{2})}{5!}\cdot{}(x)^5 -\bruch{64*sin(2*0+\bruch{\pi}{2})}{6!}\cdot{}(x)^6
[/mm]
Fehlt hier beim Taylorpolynom noch irgendwas?
Aufgabenteil c):
Es handelt sich bei der Funktion [mm] f(x)=cos(2x+\bruch{\pi}{2}) [/mm] um eine ungerade Funktion, weil die Funktion nur ungerade Exponenten hat. |
Schönen guten Abend alle zusammen,
so stimmt meine verbesserte Aufgabe?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo, schon deine 1. Ableitung ist nicht korrekt
[mm] f'(x)=-2*sin(2x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
jetzt beginne neu
Steffi
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Also ich habe die Ableitungen noch via Ableitung-Rechner kontrolliert. Sogar bei zwei verschiedenen Seiten, demzufolge müssten die eig passen...
Mit.feundlichen grüßen
J.dean
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Do 11.04.2013 | | Autor: | clwoe |
Steffi hat recht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:19 Fr 12.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> ok ihr habt mich überzeugt ich verbessere die Aufgabe
> mal...
>
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=cos(2x+\bruch{\pi}{2}).[/mm]
>
> a) Entwickeln Sie die Taylorreihe für f(x) für den
> Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0.[/mm]
> b) Geben Sie [mm]T_{6}(x)[/mm] ohne Summenzeichen an.
> c) Ist f(x) eine gerade oder ungerade Funktion ?
>
> Lösung für Aufgabe a):
>
> es gilt:
> [mm]f(x)=f(0)+\bruch{f'(0)}{1!}*x+\bruch{f''(0)}{2!}*x^2+\bruch{f'''(0)}{3!}*x^3+...+[/mm]
>
> [mm]f'(x)=-2*sin(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]f''(x)=-4*cos(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]f'''(x)=8*sin(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]f''''(x)=16cos(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]f'''''(x)=-32sin(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
> [mm]f''''''(x)=-64cos(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> [mm]f(0)=0-2x+\bruch{8}{3!}*x^3-\bruch{32}{5!}*x^5[/mm]
>
> passen die Ableitungen jetzt soweit?
>
> Meine Vermutung für die Reihe bleibt aber bei dieser
> hier:
>
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-2)^n*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)}[/mm]
>
> Aufgabenteil b):
>
> Mein Lösungsansatz
>
> [mm]0-\bruch{2*sin(2*0+\bruch{\pi}{2})}{1!}\cdot{}(x)-\bruch{4*cos(2*0+\bruch{\pi}{2})}{2!}\cdot{}(x)^2+\bruch{8*sin(2*0+\bruch{\pi}{2})}{3!}\cdot{}(x)^3+\bruch{16*sin(2*0+\bruch{\pi}{2})}{4!}\cdot{}(x)^4-\bruch{32*cos(2*0+\bruch{\pi}{2})}{5!}\cdot{}(x)^5 -\bruch{64*sin(2*0+\bruch{\pi}{2})}{6!}\cdot{}(x)^6[/mm]
>
> Fehlt hier beim Taylorpolynom noch irgendwas?
>
> Aufgabenteil c):
>
> Es handelt sich bei der Funktion
> [mm]f(x)=cos(2x+\bruch{\pi}{2})[/mm] um eine ungerade Funktion, weil
> die Funktion nur ungerade Exponenten hat.
>
> Schönen guten Abend alle zusammen,
>
> so stimmt meine verbesserte Aufgabe?
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Es waren mal
Jean Paul Addition und Marie Louise Theorem,
die fanden eine Formel für den Cosinus und dessen Kumpel Sinus.
Diese Formel zeigt, wenn man sie richtig anwendet, dass die beiden Kumpel sogar verwand sind !
Wenn Du diese Formel, die kaum jemand kennt auf Dein f loslässt, bekommst Du
$ [mm] f(x)=cos(2x+\bruch{\pi}{2})=-sin(2x) [/mm] $
Und wenn sie nicht gestorben sind, so leben sie heute noch.
FRED
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Also wenn ich die [mm] \bruch{\Pi}{2} [/mm] weg lasse passt den die Lösung? Ich habe die [mm] \bruch{\Pi}{2}nur [/mm] mit aufgeführt, weil zwei Leute meinten das das mit rein gehört...
Mit freundlichen grüßen
J.dean
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Fr 12.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey Fred,
> Also wenn ich die [mm]\bruch{\Pi}{2}[/mm] weg lasse passt den die
> Lösung? Ich habe die [mm]\bruch{\Pi}{2}nur[/mm] mit aufgeführt,
> weil zwei Leute meinten das das mit rein gehört...
Du hast offenbar nicht verstanden, was ich Dir sagen wollte:
$ [mm] f(x)=cos(2x+\bruch{\pi}{2})=-sin(2x) =-\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$
[/mm]
Potenzreihe vom Sinus !!!
FRED
>
>
> Mit freundlichen grüßen
>
> J.dean
>
>
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| Aufgabe | Das heißt:
Meine vermutete Reihe ist fast richtig gewesen. |
Bis auf das minus vor dem Summenzeichen das fehlt und der Faktor zwei muss zum x. Ist meine Annahme richtig oder möchtest du eigentlich auf was ganz anderes hinaus?
Mit.freundlichen grüßen
J.dean
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Hallo,
> Das heißt:
>
> Meine vermutete Reihe ist fast richtig gewesen.
> Bis auf das minus vor dem Summenzeichen das fehlt und der
> Faktor zwei muss zum x. Ist meine Annahme richtig oder
> möchtest du eigentlich auf was ganz anderes hinaus?
Fred wollte darauf hinaus, dass du dir die ganze Chose mit dem Ableitungen sparen kannst und mit der obigen Umschreibung in [mm] $f(x)=-\sin(2x)$ [/mm] die bekannte Reihe für den Sinus verwenden kannst.
Du kannst ja für dich mal festhalten, was aufwendiger ist:
Die Ableitungen oder die Umformung des Cosinusausdrucks in den Sinusausdruck ...
>
>
> Mit.freundlichen grüßen
>
> J.dean
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | | Aufwendiger ist das auf jeden Fall. |
Wenn man natürlich sieht das da So eine umformung möglich ist erleichtert einem das das leben ungemein... Die Ableitungen hätte ich aber für den aufgabenteil b sowieso gebraucht um das taylorpolynom zu bilden oder nicht ? Stimmt das von.mir berechnete taylorpolynom den ?
Mit freundlichen grüßen
J.dean
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Hallo nochmal,
> Aufwendiger ist das auf jeden Fall.
> Wenn man natürlich sieht das da So eine umformung
> möglich ist erleichtert einem das das leben ungemein...
> Die Ableitungen hätte ich aber für den aufgabenteil b
> sowieso gebraucht um das taylorpolynom zu bilden oder nicht ?
Du kannst ja auch von der Reihe, die Fred dir schon hingeschrieben hat, die ersten 7 Summanden nehmen ...
> Stimmt das von.mir berechnete taylorpolynom den ?
Schreibe mal bitte sorgfältiger!
Rechne da erstmal die [mm] $\sin$- [/mm] und [mm] $\cos$-Terme [/mm] aus und schreibe das als Polynom hin.
Dann kann man das besser vergleichen mit der richtigen Reihe von Fred ...
Richtig scheint mir, dass der erste von 0 verschiedene Summand $-2x$ ist, was deinem [mm] $-\bruch{2\cdot{}sin(2\cdot{}0+\bruch{\pi}{2})}{1!}\cdot{}(x)$ [/mm] entspricht.
Weiter habe ich keine Lust, deinen nicht-vereinfachten Ausdruck nachzukontrollieren ...
>
> Mit freundlichen grüßen
>
> J.dean
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Fr 12.04.2013 | | Autor: | JamesDean |
Hey schachuzipus,
Entschuldige die Darstellung, ich werde zukünftig den vereinfachten Ausdruck hinschreiben. Ich nahm an das es für euch Mathe-Cracks ein leichtes ist das Ergebnis zusehen!
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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