www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentiationTaylorreihe - Approximation
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Differentiation" - Taylorreihe - Approximation
Taylorreihe - Approximation < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Taylorreihe - Approximation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Do 24.02.2011
Autor: phychem

Hallo

Ich werde aus einer bestimmten Aussage nicht schlau. Vlt. kann mir ja hier jemand weiterhelfen:

Es sei D eine konvexe perfekte Teilmenge von [mm] \IC [/mm]  und [mm] f\in C^{\infty}(D). [/mm] Der Konvergenzradius r der Taylorreihe

T(f,a) = [mm] \summe_{k} \bruch{f^{(k)}(a)}{k!} (X-a)^{k} [/mm]

ist bekanntlich definiert als Konvergenzradius der Potenzreihe

[mm] \summe_{k} \bruch{f^{(k)}(a)}{k!} X^{k} [/mm]

Somit ist T(f,a) auf dem Ball B(a,r) konvergent. Nun zu meiner Frage:

Es ist klar, dass wenn T(f,a) wohldefiniert ist, man für jede [mm] n\in \IN [/mm] ein Taylorpolynom [mm] T_{n}(f,a) [/mm] findet, dass f in a von höherer als n-ter Ordnung approximiert. Nun steht in meinem Lehrbuch:
"Ist D offen und der Konvergenzradius der Taylorreihe positiv, dann wird f durch [mm] T_{n}(f,a) [/mm] in einer Umgebung von a   bon höherer als n-ter Ordnung approximiert".
Warum denn in einer Umgebung? Ist damit wirklich gemeint, dass [mm] T_{n}(f,a) [/mm] f nicht nur in a sondern gleich in einer Umgebung von a von höherer Ordnung approximiert?! Wie ist das zu erklären?

        
Bezug
Taylorreihe - Approximation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 Do 24.02.2011
Autor: leduart

Hallo
dir scheint nicht klar zu sein, dass [mm] T_n(a)=f(a) [/mm] ist für jedes n denn da steht ja f(a)+Glieder mit [mm] (x-a)^k [/mm] die alle 0 sind bei a.
die Idee ist doch aus Kenntnis von f(a) und deren Ableitungen an der Stelle a die fkt in einer Umgebung von a) anzunähern! und der Fehler ist eben (sieh Restglied) höchstens (n+1) ter Ordnung wenn die Taylorreihe in der Umgebung konvergiert.
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Taylorreihe - Approximation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Do 24.02.2011
Autor: phychem

Hallo leduart


>  dir scheint nicht klar zu sein, dass [mm]T_n(a)=f(a)[/mm] ist für
> jedes n

Doch, das ist mir eigentlich schon klar.

>  die Idee ist doch aus Kenntnis von f(a) und deren
> Ableitungen an der Stelle a die fkt in einer Umgebung von
> a) anzunähern! und der Fehler ist eben (sieh Restglied)
> höchstens (n+1) ter Ordnung wenn die Taylorreihe in der
> Umgebung konvergiert.
>  Gruss leduart

Ich verstehe nicht, was das mit der Konvergenz der Taylorreihe zu tun hat. Wenn die Taylorreihe ja wohldefiniert ist, ist ja bereits die Existenz von [mm] T_n(a) [/mm]  mit beliebigem n sicher.


Ich denke, der Autor meint wirklich, dass mit der Konvergenz [mm] T_n(a) [/mm]  f nicht nur in a sondern sogar in einer Umgebung von a approximiert. Er schreibt dann noch:

"Diese Approximation auf einer Umgebung von a bedeutet aber nicht, dass f durch seine Taylorreihe in einer Umgebung  von a dargestellt wird. Dies wäre nur dann der Fall, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} R_n(f,a)(x)=0 [/mm]  für alle Elemente x dieser Umgebung gilt."

Das ist natürlich klar.

Wenn [mm] T_n(a) [/mm] f nur in a approximieren sollte, warum dann die Formulierung [mm] "T_n(a) [/mm] approximiert f in einer Umgebung von a von höherer als n-ter Ordnung"? Man kann ja einfach sagen: [mm] "T_n(a) [/mm] approximiert f in a von höherer als n-ter Ordnung".



Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe - Approximation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Do 24.02.2011
Autor: leduart

Hallo
jetz versteh ich deine Frage nicht mehr:


> Hallo leduart

> Ich verstehe nicht, was das mit der Konvergenz der
> Taylorreihe zu tun hat. Wenn die Taylorreihe ja
> wohldefiniert ist, ist ja bereits die Existenz von [mm]T_n(a)[/mm]  
> mit beliebigem n sicher.

[mm] T_n(a) [/mm] ist völlig uninteressant, da es eben einfach f(a) ist, egal ob [mm] T_n [/mm] konvergiert oder nicht.

>
> Ich denke, der Autor meint wirklich, dass mit der
> Konvergenz [mm]T_n(a)[/mm]  f nicht nur in a sondern sogar in einer
> Umgebung von a approximiert. Er schreibt dann noch:

natürlich meint er das, denn in a wird ja nicht approximiert, und in a über konvergenz zu sprechen ist sinnlos.

> "Diese Approximation auf einer Umgebung von a bedeutet aber
> nicht, dass f durch seine Taylorreihe in einer Umgebung  
> von a dargestellt wird. Dies wäre nur dann der Fall, wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} R_n(f,a)(x)=0[/mm]  für alle
> Elemente x dieser Umgebung gilt."
>  
> Das ist natürlich klar.
>  
> Wenn [mm]T_n(a)[/mm] f nur in a approximieren sollte, warum dann die
> Formulierung <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$" [mm] t_n(a)$="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" [mm] t_n(a)=""> [/mm] approximiert f in einer Umgebung von a
> von höherer als n-ter Ordnung"? Man kann ja einfach sagen:
> <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$" [mm] t_n(a)$="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" [mm] t_n(a)=""> [/mm] approximiert f in a von höherer als n-ter
> Ordnung".

nochmal a ist uninterresant, weil da nicht approximiert wird!
nur die Approximation in einer Umgebung von a ist interessant.
nimm sin(x): Wert und alle Ableitungen bei x=0 sind bekannt und stimmen mit denen jedes Taylorpolynoms überein.
Wenn du jetzt aber x=0.1 einsetzt, willst du wissen mit welcher Genauigkeit du sin(0,1) bestimmen kannst, wenn du [mm] T_5 [/mm] nimmst  und die Genauigkeit ist eben von der Ordnung [mm] 0.1^6 [/mm] d.h. du kannst sin(0.05) [mm] 12^6 [/mm] mal so genau bestimmen wie sin(0.1)
Gruss leduart


Bezug
                                
Bezug
Taylorreihe - Approximation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:11 Fr 25.02.2011
Autor: phychem


> Hallo
>  jetz versteh ich deine Frage nicht mehr:
>  
>
> > Hallo leduart
>  
> > Ich verstehe nicht, was das mit der Konvergenz der
> > Taylorreihe zu tun hat. Wenn die Taylorreihe ja
> > wohldefiniert ist, ist ja bereits die Existenz von [mm]T_n(a)[/mm]  
> > mit beliebigem n sicher.
>  [mm]T_n(a)[/mm] ist völlig uninteressant, da es eben einfach f(a)
> ist, egal ob [mm]T_n[/mm] konvergiert oder nicht.

Mit [mm]T_n(a)[/mm]  hab ich nicht den Funktionswert in a sondern das Taylorpolynom [mm]T_n(f,a)[/mm]  gemeint.




Die Definition der Approximierbarkeit lautet:

Die Funktion g: D [mm] \to [/mm] V  approximiert  die Abbildung f: D [mm] \to [/mm] V   in [mm] a\in [/mm] D von höher als n-ter Ordnung, wenn gilt:

f(x) = g(x) + [mm] o(\parallel [/mm] x-a [mm] \parallel^n) [/mm]

Das heisst:

[mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{f(x)-g(x)}{\parallel x-a \parallel^n} [/mm] = 0

(die Approximation setzt unter anderem also voraus, dass a ein Häufungspunkt von D ist)

Man sagt dann "g approximiert f in a". Was soll also dieser Zusatz "in einer Umgebung". Es muss einfach der obige Grenzwert wohldefiniert und gleich Null sein.

Das Taylorpolynom [mm]T_n(f,a)[/mm] approximiert gemäss der Taylorschen Formel die Abbildung f in a von höherer Ordnung als n.

Was aber hat die Konvergenz der Taylorreihe hier für eine Bedeutung?!??




Bezug
                                        
Bezug
Taylorreihe - Approximation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:42 Fr 25.02.2011
Autor: leduart

Hallo
Was genau verstehst du unter [mm] T_n(f,a) [/mm] Das TP entwickelt um eine beliebige Stelle [mm] x_0 [/mm] an der Stelle [mm] a\nex_0 [/mm] ausgewertet?
Wie willst du den GW bilden, wenn die Reihe in einer umgebung von a nicht konvergiert, d. h. also in jeder Umgebung von a, gibt es Punkte, wo die Reihe ab n bis [mm] \infty [/mm] summiert unendlich gibt?
Irgendwie versteh ich deine Frage wohl nicht.
Gruss leduart



Bezug
                                                
Bezug
Taylorreihe - Approximation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:01 Sa 26.02.2011
Autor: phychem


> Hallo
>  Was genau verstehst du unter [mm]T_n(f,a)[/mm] Das TP entwickelt um
> eine beliebige Stelle [mm]x_0[/mm] an der Stelle [mm]a\nex_0[/mm]
> ausgewertet?

Unter [mm]T_n(f,a)[/mm] versteh ich das Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt a. Also folgendes Polynom


[mm]T_n(f,a)[/mm]  = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{f^{(k)}(a)}{k!} [/mm] (X-a)

Diese lässt sich natürlich mit folgender Polynomfunktion identifizieren:

[mm]T_n(f,a)[/mm]: D [mm] \to [/mm] V  , x [mm] \mapsto[/mm]   [mm]T_n(f,a)(x)[/mm]

>  Wie willst du den GW bilden, wenn die Reihe in einer
> umgebung von a nicht konvergiert, d. h. also in jeder
> Umgebung von a, gibt es Punkte, wo die Reihe ab n bis
> [mm]\infty[/mm] summiert unendlich gibt?

Davon gehe ich nicht aus...


>  Irgendwie versteh ich deine Frage wohl nicht.

Vermutlich lag einfach ein Missverständnis bzgl. den Bezeichnungen vor.


Ich versuch die Frage noch mal anders zu formulieren:

Stimm es, dass:
Wenn die Taylorreihe


[mm]T(f,a)[/mm]  = [mm] \summe_{k} \bruch{f^{(k)}(a)}{k!} [/mm] (X-a)

einen positiven Konvergenzradius r hat und D offen ist, man für jedes natürliche n eine Umgebung U von a findet, in der das Taylorpolynom
[mm]T_n(f,a)[/mm] die Abbildung f "in allen Punkte approximiert"?
Mit letzterem mein ich, dass etwa für  [mm] b\in [/mm] U
[mm] \limes_{x\rightarrow b} \bruch{f(x)-Tn(f,a)(x)}{|x-b|^n} [/mm] = 0
gilt, also f(x) = Tn(f,a)(x) + [mm] o(|x-a|^n) [/mm] ist.


So würde die gefundenen Aussage nämlich Sinn machen.





Bezug
                                                        
Bezug
Taylorreihe - Approximation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Sa 26.02.2011
Autor: leduart

Hallo


> >  Wie willst du den GW bilden, wenn die Reihe in einer

> > umgebung von a nicht konvergiert, d. h. also in jeder
> > Umgebung von a, gibt es Punkte, wo die Reihe ab n bis
> > [mm]\infty[/mm] summiert unendlich gibt?
>  
> Davon gehe ich nicht aus...

Was bedeutet denn dann [mm] T_n [/mm] konvergiert nicht?

>

>
> Ich versuch die Frage noch mal anders zu formulieren:
>  
> Stimm es, dass:
>  Wenn die Taylorreihe
>
>
> [mm]T(f,a)[/mm]  = [mm]\summe_{k} \bruch{f^{(k)}(a)}{k!}[/mm] (X-a)
>  
> einen positiven Konvergenzradius r hat und D offen ist, man
> für jedes natürliche n eine Umgebung U von a findet, in
> der das Taylorpolynom
> [mm]T_n(f,a)[/mm] die Abbildung f "in allen Punkte approximiert"?
>  Mit letzterem mein ich, dass etwa für  [mm]b\in[/mm] U
> [mm]\limes_{x\rightarrow b} \bruch{f(x)-Tn(f,a)(x)}{|x-b|^n}[/mm] =
> 0
>  gilt, also f(x) = Tn(f,a)(x) + [mm]o(|x-a|^n)[/mm] ist.
>  
>
> So würde die gefundenen Aussage nämlich Sinn machen.

Wenn du da ncht [mm] $b\in$ [/mm] U geschrieben hättest, es aber  dann für [mm] x\in [/mm] U verwendet hättest ist das richtig.
also für alle [mm] x\in [/mm] U gilt f(x) = Tn(f,a)(x) + [mm] $o(|x-a|^n)$ [/mm]
oder für alle [mm] b\in [/mm] U gilt
f(b) = Tn(f,a)(b) + [mm] $o(|b-a|^n)$ [/mm]
ja, genau das.
Gruss leduart



Bezug
                                                                
Bezug
Taylorreihe - Approximation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Sa 26.02.2011
Autor: phychem


> Hallo
>  
>
> > >  Wie willst du den GW bilden, wenn die Reihe in einer

> > > umgebung von a nicht konvergiert, d. h. also in jeder
> > > Umgebung von a, gibt es Punkte, wo die Reihe ab n bis
> > > [mm]\infty[/mm] summiert unendlich gibt?
>  >  
> > Davon gehe ich nicht aus...
>  Was bedeutet denn dann [mm]T_n[/mm] konvergiert nicht?

[mm]T_n[/mm], also  [mm]T_n[/mm](f,a) ist ein Taylorpolynom n-ten GRades. Warum sollte man dieses nach Konvergenz untersuchen?  [mm]T[/mm](f,a) ist die Teilerreihe, die je nachdem, ob das Argument x innerhalb oder ausserhallb des Konvergenzkreises (oder auf dem Rand) liegt, konvergiert....


>
> >
> > Ich versuch die Frage noch mal anders zu formulieren:
>  >  
> > Stimm es, dass:
>  >  Wenn die Taylorreihe
> >
> >
> > [mm]T(f,a)[/mm]  = [mm]\summe_{k} \bruch{f^{(k)}(a)}{k!}[/mm] (X-a)
>  >  
> > einen positiven Konvergenzradius r hat und D offen ist, man
> > für jedes natürliche n eine Umgebung U von a findet, in
> > der das Taylorpolynom
> > [mm]T_n(f,a)[/mm] die Abbildung f "in allen Punkte approximiert"?
>  >  Mit letzterem mein ich, dass etwa für  [mm]b\in[/mm] U
> > [mm]\limes_{x\rightarrow b} \bruch{f(x)-Tn(f,a)(x)}{|x-b|^n}[/mm] =
> > 0
>  >  gilt, also f(x) = Tn(f,a)(x) + [mm]o(|x-a|^n)[/mm] ist.
>  >  
> >
> > So würde die gefundenen Aussage nämlich Sinn machen.
>  Wenn du da ncht [mm]b\in[/mm] U geschrieben hättest, es aber  dann
> für [mm]x\in[/mm] U verwendet hättest ist das richtig.
>  also für alle [mm]x\in[/mm] U gilt f(x) = Tn(f,a)(x) + [mm]o(|x-a|^n)[/mm]
>  oder für alle [mm]b\in[/mm] U gilt
> f(b) = Tn(f,a)(b) + [mm]o(|b-a|^n)[/mm]
>  ja, genau das.

Dass dies so richtig ist, ist mir klar. Meine Frage war aber bewusst anders gestellt.


edit:
ups, ich wollte natürlich
f(x) = Tn(f,a)(x) + [mm]o(|x-b|^n)[/mm]
schreiben.



Bezug
                                                                        
Bezug
Taylorreihe - Approximation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:18 So 27.02.2011
Autor: leduart

Hallo
die Taxlorreihe für [mm] e^x [/mm] um 0 konvergiert auf ganz R
also nimm ein b aus R etwa b=1.01, dann x=1 glaubst du wirklich dass  [mm] e^{1}= Tn(e^x,0)(1) [/mm] + $ [mm] o(0.01^n) [/mm] $ ist
Dann rechne mal [mm] e^1 [/mm] aus T:1 aus, das ist [mm] T1(e^x,0)(1)=2 [/mm] auf [mm] 0,01^2 [/mm] genau? wenn du b>=1.00001 wählst genauer?
Ein TP nähert f(x) umso besser an, je näher man an der Entwicklungsstelle ist!
Kannst du mal genauer ausdrücken, was du von einem TP erwartest und es jeweils an nem einfachen wie dem für [mm] e^y [/mm] oder sin(x) ausprobieren?
Gruss leduart


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]