Taylorreihe berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Di 06.06.2006 | | Autor: | Dally |
| Aufgabe | Sei [mm]\alpha \in \IR[/mm]\[mm]{0}[/mm] und [mm]f:\IR \to ]0,\infty[ [/mm] eine differenzierbare Funktion mit [mm]f'(x) = \alphaf(x)[/mm]
für alle [mm]x\in \IR[/mm] und [mm]f(0) = 1[/mm]. Zeigen Sie:
(a) f ist beliebig oft differenzierbar an allen Stellen [mm]x\in \IR[/mm].
(b) Berechnen Sie die Taylorreihe der Funktion f im
Entwickelungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm].
(c) Welche Rückschlüsse lässt die Taylorreihe auf die Funktion f zu?
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Wenn [mm]f'(x)=\alphaf(x)[/mm],
dann ist [mm]f(x) = e^{\alphax}[/mm]
f'(x) = [mm] \alpha*e^{\alpha*x}, e^{\alpha*0} [/mm] = 1
f'(0) = [mm] \alpha*e^{\alpha*0}
[/mm]
[mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] f'{x_{0}} [/mm] = [mm] f''{x_{0}} [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
[mm] e^{x} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \bruch{\alpha}{1!}*(x [/mm] - 0) + [mm] \bruch{\alpha}{2!}*(x [/mm] - [mm] 0)^2 [/mm] ...
= [mm] \alpha [/mm] + [mm] \alpha*x [/mm] + [mm] \bruch{\alpha*x^{2}}{2}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \alpha*\bruch{x^{k}}{k!} [/mm]
Und jetzt frage ich mich ob das so richtig ist.
Würde mich über eine Korrektur und über ein paar Tips zu den anderen Aufgabenteilen sehr freuen.
Danke schonmal.
Mfg
Dally
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Di 06.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Dally
1. sieh dir dein Posting vor dem Abschicken mit Vorschau an, deins war völlig unleserlich! ( wenn man an alpha direkt alphax anhängt, kennt kein formeeditor das Ding )
> Sei [mm]\alpha \in \IR[/mm]\[mm]{0}[/mm] und [mm]f:\IR \to ]0,\infty[[/mm] eine
> differenzierbare Funktion mit [mm]f'(x) = \alpha *f(x)[/mm]
> für alle
> [mm]x\in \IR[/mm] und [mm]f(0) = 1[/mm]. Zeigen Sie:
>
> (a) f ist beliebig oft differenzierbar an allen Stellen
> [mm]x\in \IR[/mm].
>
> (b) Berechnen Sie die Taylorreihe der Funktion f im
> Entwickelungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm].
>
> (c) Welche Rückschlüsse lässt die Taylorreihe auf die
> Funktion f zu?
>
>
> Wenn [mm]f'(x)=\alpha*f(x)[/mm],
> dann ist [mm]f(x) = e^{\alpha x}[/mm]
Du sollst aus der Dgl die Reihe entwickeln! Nicht die Lösung benutzen! den dann müsstest du erst beweisen dass [mm] (e^x)'=e^x [/mm] usw.
Was du machst, ist nicht falsch, geht aber an der Aufgabe vorbei!
f'=a*f folgt: f''=a*f' folgt [mm] f''=a^{2}*f [/mm] usw.
Du kannst also die Taylorformel aus der Dgl, ablesen. Erst dann macht die Aufgabe Sinn!
(im allgemeinen definiert man [mm] e^x [/mm] durch die Dgl, und leitet daraus die Reihe her!)
> f'(x) = [mm]\alpha*e^{\alpha*x}, e^{\alpha*0}[/mm] = 1
> f'(0) = [mm]\alpha*e^{\alpha*0}[/mm]
> [mm]f(x_{0})[/mm] = [mm]f'{x_{0}}[/mm] = [mm]f''{x_{0}}[/mm] = [mm]\alpha[/mm]
>
> [mm]e^{x}[/mm] = [mm]\alpha[/mm] + [mm]\bruch{\alpha}{1!}*(x[/mm] - 0) +
> [mm]\bruch{\alpha}{2!}*(x[/mm] - [mm]0)^2[/mm] ...
> = [mm]\alpha[/mm] + [mm]\alpha*x[/mm] + [mm]\bruch{\alpha*x^{2}}{2}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \alpha*\bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
>
Gruss leduart
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