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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Taylorreihe mit [mm] x_0 [/mm] = 0 sowie deren Konvergenzradius für
f: ] - [mm] \infty [/mm] , 1[ -> [mm] \IR [/mm] , x -> [mm] ln(\frac{1}{1-x})
[/mm]
und zeigen Sie, dass die taylorreihe für x [mm] \in [/mm] [-1,0.5] gegen f konvergiert. |
Hi,
so ich bin noch nicht so weit, habe für die Erstellung der Taylorreihe die ersten 5 Ableitungen bestimmt und das Muster
[mm] f^{n} [/mm] (x) = [mm] \frac{a_n}{(1-x)^n} [/mm] mit [mm] a_{1,2,3,4,5,6} [/mm] = 1,1,2,6,24,120 ist. Sprich, ich krieg keine Formel für den Zähler raus was ist den 1,1,2,6,24,120 für eine Folge,bzw. wie stelle ich sich abhängig von n dar?
Snafu
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> Bestimmen Sie die Taylorreihe mit [mm]x_0[/mm] = 0 sowie deren
> Konvergenzradius für
> f: ] - [mm]\infty[/mm] , 1[ -> [mm]\IR[/mm] , x -> [mm]ln(\frac{1}{1-x})[/mm]
> und zeigen Sie, dass die taylorreihe für x [mm]\in[/mm] [-1,0.5]
> gegen f konvergiert.
> Hi,
>
> so ich bin noch nicht so weit, habe für die Erstellung der
> Taylorreihe die ersten 5 Ableitungen bestimmt und das
> Muster
> [mm]f^{n}[/mm] (x) = [mm]\frac{a_n}{(1-x)^n}[/mm] mit [mm]a_{1,2,3,4,5,6}[/mm] =
> 1,1,2,6,24,120 ist. Sprich, ich krieg keine Formel für den
> Zähler raus was ist den 1,1,2,6,24,120 für eine
> Folge,bzw. wie stelle ich sich abhängig von n dar?
n! sprich n fakultät sollte dein problem lösen 
>
> Snafu
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Di 15.06.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Danke! :) sieht so simpel aus, wenn man's weiß....
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Hi,
also somit habe ich [mm] f^n(x) [/mm] = [mm] \frac{(n-1)!}{(1-x)^n}, [/mm] das beweise ich induktiv für alle n [mm] \in \IN [/mm] (lasse ich hier mal raus, da bin ich mich sicher)
somit ist die Taylorreihe [mm] T_n(x,0) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{f^n(0)}{n!} x^n [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{\frac{(n-1)!}{(1-0)^n}}{n!} x^n [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n} [/mm] , mit [mm] a_n [/mm] := 1/n
nach dem Quitientenkriterium kommt raus:
[mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] \frac{n}{n+1} [/mm] ----> 1 für [mm] n-->\infty [/mm]
Die Tayloreihe hat den Konvergenzradius 1 => sie konvergiert für [mm] x\in]-1,1[ [/mm] , da Entwicklungspunkt 0 ist.
So nun muss ich nur noch Zeigen das der Restgliedterm in dem Intervall gegen Null konvergiert:
Ich zeige erst mal für [0,0.5] :
[mm] \exists \mu \in [/mm] ]0,x[ mit [mm] R_n(x,0) [/mm] = [mm] \frac{f^{n+1}(\mu)}{(n+1)!} x^{n+1} [/mm] = [mm] \frac{x^{n+1}}{(1-\mu)^{n+1}(n+1)} [/mm] = [mm] (\frac{x}{1-\mu})^{n+1} \frac{1}{n+1} [/mm]
hier komme ich nicht mehr weiter, geht der Term gegen 0, und wenn ja, wie sehe ich das? Ich weiß das [mm] \mu [/mm] < x ist , jetzt ist da aber [mm] (1-\mu) [/mm] wie soll ich das denn abschätzen?
Kann ich hier argumentieren:
Wegen 0< [mm] x\le [/mm] 0.5 und 0< [mm] \mu [/mm] < x gilt [mm] \frac{x}{1-\mu} [/mm] < 1?
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mi 16.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wqrum nicht gleich das ganze Intervall?
aber es gilt in deinem [mm] x/(1-\mu)\le 0.5/(1-\mu)
[/mm]
und [mm] 1-\mu\ge [/mm] 0.5 also [mm] 1/(1-\mu)<^/0.5 [/mm] und dann ist dein <1 richtig.
Gruss leduart
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Hi,
wenn ich das gesamte Intervall nehme, habe ich:
Für [mm] x\in [/mm] [-1;0.5] [mm] \exists \mu \in [/mm] ]-1,x[ :
| [mm] R_n [/mm] (x, -1) = [mm] |\frac{(x+1)^{n+1}}{(1-\mu)^{n+1}} [/mm] * [mm] \frac{1}{n+1}|, [/mm] d.h. ich muss zeigen dass [mm] |\frac{(x+1)}{(1-\mu)}| \le [/mm] 1 ist:
[mm] \frac{(x+1)}{(1-\mu)} \le \frac{(1,5)}{(1-\mu)} [/mm] jetzt ist aber [mm] 1-\mu [/mm] > 0,5 , kann ich die [mm] \le [/mm] 1 Abschätzung nicht zeigen.
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mi 16.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
versteh ich nicht, wenn du den nenner verkleinerst , dann hast du doch den Bruch vergrößert?
Gruss leduart
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Hi, ja aber der Bruch muss ja für alle [mm] \mu \in [/mm] ]-1,0[ kleiner gleich 1 sein.
Snafu
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 19.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Fr 18.06.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
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Hi
mal eine allgemeiner Frage:
Mir geht ja darum zu zeigen, dass in [-1;0.5] die Taylorreihe gegen die Funktion f konvergiert, d.h. das der Restgliedterm [mm] R_n(x,0) [/mm] gegen 0 konvergiert mit n [mm] ->\infty.
[/mm]
Jetzt will ich das erst mal fürs Intervall links vom Entwicklungspunkt zeigen:
Jetzt habe ich auf [mm] x\in [/mm] [-1;0] ein [mm] \mu \in [/mm] ]x,0[ : [mm] R_n(x,0) [/mm] = [mm] (\frac{x}{1-\mu})^{n+1} \frac{1}{n+1} [/mm]
damit [mm] R_n [/mm] gegen 0 konvergiert muss ja [mm] \frac{x}{1-\mu} \le [/mm] 1 sein,
muss das für alle [mm] \mu \in]x,0[ [/mm] gelten und muss nur ein [mm] \mu [/mm] existieren für das das gilt? Weil für alle [mm] \mu [/mm] kann ich das ja nicht garantieren, wenn z.B x=1 dann kann ja [mm] \mu [/mm] 0,9 sein und dann ist [mm] \frac{x}{1-\mu} [/mm] > 1??
PS: wie löscht man Foreneinträge komplett hier?
Snafu
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 23.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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