Taylorreihe berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:15 Di 21.05.2013 | | Autor: | Teuvo |
| Aufgabe | Berechne die Taylorreihe von f (x,y)= cos (x+y) im Entwicklungspunkt [mm] (x_{0} [/mm] , [mm] y_{0})= (\pi, \pi/2) [/mm] ohne die Reihendarstellung von sin und cos zu verwenden.
Zeigen Sie zudem, dass die Taylorreihe auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] mit f übereinstimmt. |
Also ich habe jetzt die ersten vier partiellen Ableitungen gebildet und festgestellt, dass sie sich ab da wiederholen, lediglich die Potenz des x bzw. des y erhöht sich, sowie das Vorzeichen wie es bei der Ableitung von typisch ist.
Des weiteren ist die Taylorreihe definiert mit:
T(x) = [mm] f(x_{0})+ (x-x_{0})^{T} \Delta f(x_{0}) [/mm] + 1/2! [mm] (x-x_{0})^{T} H_{f} (x_{0}) (x-x_{0})
[/mm]
und [mm] \Delta f(x_{0}) [/mm] =0 hab ich ausgerechnet, da [mm] \Delta f(x_{0})= \Vektor{\partial x\\\partial y} [/mm] * [mm] cos(x_{0} [/mm] + [mm] y_{0}) [/mm] = 0
Da cos [mm] \bruch{3}{2} [/mm] ?pi ja 0 wird.
Und somit fällt dann in T(x) der zweite Term weg.
Sind meine Gedankengänge bis jetzt richtig? Weil sicher bin ich mir da jetzt nicht.
Vielen Dank für eure Hilfe
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Hallo!
> und [mm]\Delta f(x_{0})[/mm] =0 hab ich ausgerechnet, da [mm]\Delta f(x_{0})= \Vektor{\partial x\\\partial y}[/mm]
> * [mm]cos(x_{0}[/mm] + [mm]y_{0})[/mm] = 0
> Da cos [mm]\bruch{3}{2}[/mm] ?pi ja 0 wird.
> Und somit fällt dann in T(x) der zweite Term weg.
(Kleiner Tipp: schreib vektor, nicht Vektor. Dann klappt das mit den Vektoren auch)
Generell heißt es:
[mm] $\Delta f(\vec{x}_{0})= \left \vektor{\partial x \\ \partial y}\cos(x+y)\right|_{x=x_0, y=y_0}$
[/mm]
d.h. erst ableiten, und dann [mm] x=x_0 [/mm] und [mm] y=y_0 [/mm] einsetzen.
Und dann bekommt man
[mm] $\Delta f(\vec{x}_{0})= \left \vektor{\sin(x_0) \\ \sin(y_0)}=\vektor{0 \\ 1}$
heraus, also keinesfalls \vec{0}.
Das liegt einfach daran, daß du nicht um den Ursprung entwickelst.
Denk z.B. an folgendes: Wenn du \sin(x) um x=\pi/2 entwickeln willst, ist das genauso, als wenn du \cos(x) um x=0 entwickelst. Du wirst also bei der Entwicklung des Sinus die gleichen Koeffizienten wie bei der des Cosinus erhalten, und wenn du irgendeinen anderen Entwicklungspunkt nimmst, bekommst du auch furchtbar wilde Koeffizienten, und es fällt nciht mehr jeder zweite weg.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Di 21.05.2013 | | Autor: | Teuvo |
Vielen Dank. Also sind meine Gedanken zu dem Thema soweit okay gewesen?
Aber der Punkt der mich am weiter rechnen hindert ist der Punkt mit der sin und cos freien Taylorreihe.
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Hallo Teuvo,
> Vielen Dank. Also sind meine Gedanken zu dem Thema soweit
> okay gewesen?
Ja.
Die Taylorreihe ist doch eine unendliche Reihe.
> Aber der Punkt der mich am weiter rechnen hindert ist der
> Punkt mit der sin und cos freien Taylorreihe.
>
Der Gradient an der Entwicklungsstelle lautet doch:
[mm] \Delta f(\vec{x}_{0})= \left \vektor{\blue{-}\sin(x_0+\blue{y_{0}}) \\ \blue{-}\sin(\blue{x_{0}}+y_0)}=\vektor{\blue{1} \\ 1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:07 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Teuvo |
Also ich hab jetzt angefangen die Taylorreihe zu entwickeln, nach folgender Formel:
T(x,y)= [mm] f(x_{0}, y_{0})+ [/mm] f'x [mm] (x_{0}, y_{0})+ [/mm] f'y [mm] (x_{0}, y_{0}) (x-x_{0}) [/mm] + f''x [mm] (x_{0}, y_{0}) [/mm] (x - [mm] x_{0}) [/mm] + f''y [mm] (x_{0}, y_{0}) [/mm] (x - [mm] x_{0}) [/mm] usw.
Und hab mir dann eine Reihendarstellung überlegt in Form einer Summenformel:
cos(x+y)= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{(-1)^{k} (x+y)^{2k}}{(2k)!}
[/mm]
Jetzt ist meine Frage, ob diese Überlegung falsch ist?
Vielen Dank für eure Hilfe
Teuvo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Sa 25.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Ich dachte du sollst die Reihendarstellung nicht verwenden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Mo 27.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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