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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Bestimme die Taylorreihe von f(x)= ln(2+x) mit Anschlussstelle [mm] x_0 [/mm] =0 (0hne die ableitungen [mm] f^{(k)} [/mm] (0) zu bestimmen!) |
Hallo,
Bekannt ist mir T[ln(1+x),0] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k} x^k
[/mm]
T[ln(2+x),0] =?
Kann man nun nicht einfach statt [mm] x^k [/mm] ein [mm] (2+x)^k [/mm] drausmachen?
Ich bin was Taylorreihen angeht, grade ein bisschen verwirrt! Und mir scheint dies auch nicht richtig!
kann mir da vlt wer helfen?
Mfg LU
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Hallo Lu-,
> Bestimme die Taylorreihe von f(x)= ln(2+x) mit
> Anschlussstelle [mm]x_0[/mm] =0 (0hne die ableitungen [mm]f^{(k)}[/mm] (0) zu
> bestimmen!)
> Hallo,
>
> Bekannt ist mir T[ln(1+x),0] = [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k} x^k[/mm]
>
Das ist nicht ganz richtig:
[mm]T[ln(1+x),0]=\sum_{k=\blue{1}}^\infty \frac{(-1)^{k\blue{-1}}}{k} x^k[/mm]
> T[ln(2+x),0] =?
> Kann man nun nicht einfach statt [mm]x^k[/mm] ein [mm](2+x)^k[/mm]
> drausmachen?
Nein.
Das Argument musst Du schon passend ersetzen.
> Ich bin was Taylorreihen angeht, grade ein bisschen
> verwirrt! Und mir scheint dies auch nicht richtig!
>
> kann mir da vlt wer helfen?
> Mfg LU
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Ja entschuldige da hab ich mich vertippt.
Wie meinst du das Argument passend machen?
Das verstehe ich nicht.
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Hallo Lu-,
> Hallo,
> Ja entschuldige da hab ich mich vertippt.
>
> Wie meinst du das Argument passend machen?
> Das verstehe ich nicht.
Nun, zu ln(1+x) gehört das Argument x in der Taylorreihe.
Willst Du die Taylorreihe von ln(2+x) auf die von ln(1+x)
zurückführen, so ist dieses x in der Taylorreihe von ln(1+x)
durch etwas anderes zu ersetzen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Lu- |
> Nun, zu ln(1+x) gehört das Argument x in der Taylorreihe
[mm] T[ln(2+x),0]=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} (x+1)^k [/mm]
Was muss ich da noch machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 So 07.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Nun, zu ln(1+x) gehört das Argument x in der Taylorreihe
> [mm]T[ln(2+x),0]=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} (x+1)^k[/mm]
Dies ist keine Taylorreihe mit Entwicklungspunkt $0$ sondern mit $-1$.
Ich schätze, der Konvergenzkreis sollte schon bis -2 reichen, erst da ist [mm] $\ln(2+x)$ [/mm] nicht mehr definiert.
Nun kennst Du die Taylorreihe für [mm] $\ln(1+x/2)$ [/mm] und die Reihe für [mm] $\ln [/mm] 2$. Mit
[mm] $\ln [/mm] (2+x) = [mm] \ln \bigl((1+x/2)*2\bigr) [/mm] = [mm] \ln [/mm] 2 [mm] +\ln [/mm] (1+x/2)$ kannst Du Dir dann was mit Konvergenzradius 2 zusamenbasteln.
Gruß,
Wolfgang
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