Taylorreihe bestimmen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei I [mm] \subset \IR [/mm] ein offenes Intervall, [mm] x_0 \in [/mm] I und f: I [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion, welche auf [mm] I\setminus\{x_0\} [/mm] differenzierbar ist.
a) Beweisen Sie folgende Aussage: Wenn der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f'(x) [/mm] =: a existiert, dann ist die Funktion f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar mit f'(x) = a.
b) Man betrachte die Funktion f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] die gegeben ist durch [mm] f(x)=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x^2}}, & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Funktion f auf ganz [mm] \IR [/mm] glatt ist und bestimmen Sie die Taylorreihe von f in Null. |
Hallo,
zu a)
Ich habe zwei Lösungsansätze, wobei der zweite falsch sein soll, und ich wüsste gerne warum.
1. Lösungsansatz:
Sei [mm] x_0 \in [/mm] I.
Wähle ein [mm] x_1 \in [/mm] I so, dass [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_0 [/mm] gilt. Das ist möglich, da I ein offenes Intervall ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist auf [mm] [x_1, x_0] [/mm] stetig und auf [mm] (x_1, x_0) [/mm] differenzierbar nach Voraussetzung.
Mit dem Mittelwertsatz folgt:
Es existiert ein [mm] \zeta \in (x_1, x_0): f'(\zeta) [/mm] = [mm] \bruch{f(x_0) - f(x_1)}{x_0 - x_1}.
[/mm]
Wenn [mm] x_1 \to x_0, [/mm] dann [mm] \zeta \to x_0.
[/mm]
Nach Voraussetzung gilt dann [mm] f'(\zeta) \to [/mm] a und mithin [mm] \bruch{f(x_0) - f(x_1)}{x_0 - x_1} \to [/mm] a für [mm] x_1 \to x_0, [/mm] also [mm] f'(x_0) [/mm] = a.
[mm] \Box
[/mm]
2. Lösungsansatz:
Es gilt: a = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f'(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\limes_{y\rightarrow x}\bruch{f(y) - f(x)}{y - x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\limes_{y\rightarrow x_0}\bruch{f(y) - f(x)}{y - x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}(\limes_{y\rightarrow x_0}\bruch{f(y) - f(x)}{y - x}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} [/mm] = [mm] f'(x_0)
[/mm]
Warum ist das nicht richtig?
zu b)
Ich möchte zuerst zeigen, dass f auf [mm] \IR [/mm] glatt ist.
Sei x [mm] \in [/mm] (0, [mm] +\infty) \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] e^{-\bruch{1}{x^2}} \Rightarrow [/mm] f ist auf [mm] (0,+\infty) [/mm] glatt, da die e-Funktion glatt ist.
Analog für x [mm] \in (-\infty, [/mm] 0). Also ist f auf [mm] \IR\setminus\{0\} [/mm] glatt.
Jetzt habe ich Schwierigkeiten zu zeigen, dass f auch in x = 0 glatt ist. Meine Idee ist, dass per Induktion und dem Differenzenquotienten zu zeigen, aber dazu brauche ich ja die n-te Ableitung von f in x [mm] \not= [/mm] 0. Ich gehe auch mal davon aus, dass ich irgendwie Teil a) dafür anwenden muss?
Für die Taylorreihe muss ich doch auch die n-te Ableitung von f kennen, oder nicht?
Grüsse
Alexander
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Kann mir keiner helfen?^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 06.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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