Taylorreihe für sinus Pie < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ich soll die Taylorreihe für die Sinus Funktion sin x an der Stelle PIE aufstellen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nun zu meinem Problem. Ich habe keine Ahnung wie das gehen soll.
Ich brauch das für meine Facharbeit. Bitte helft mir.
Die Taylorreiche für [mm] x_{0} [/mm] = 0 habe ich hinbekommen.
sin x = [mm] \bruch{x}{1!}- \bruch{x^3}{3!}+ \bruch{x^5}{5!} [/mm] usw.
Nur wie mach ich das für die Stelle [mm] x_{0}= \pi
[/mm]
Bitte helft mir?
Dann kapiere ich vielleicht auch wie man das macht für die stelle [mm] x_{0}=1
[/mm]
Danke euch. Es ist sehr wichtig...
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Guten Morgen!
Nun, die Taylorreihe von [mm] $f\in C^\infty(U,\IR)$ [/mm] im Punkt [mm] $x_0\in [/mm] U$ sieht ja so aus:
[mm] $f(x)=\sum_{j=0}^\infty \frac{f^{(j)}(x_0)}{j!}(x-x_0)^j$.
[/mm]
Was Du also lediglich bestimmen mußt, ist [mm] $f^{(j)}(x_0)$, [/mm] die j-te Ableitung der Funktion [mm] $f(x)=\sin [/mm] x$ an der Stelle [mm] $x_0=\pi$.
[/mm]
Gruß,
Christian
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Und wie mach ich das? Sry ich versteh es nicht... Kannst du die mal bitte ausformuliert hinschreiben. Bis n=4 dann hoffe ich mal, dass ich es dann kapiere.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Fr 10.03.2006 | | Autor: | MarkusUhl |
Wenn ich nun die Taylorentwicklung mache. Müsste es doch heißen:
[mm] \bruch{sin\pi}{0!} [/mm] + [mm] \bruch{cos\pi}{1!} [/mm] x - [mm] \bruch{sin\pi}{0!} x^2 [/mm] - [mm] \bruch{cos \pi}{3!} x^3 [/mm] usw.
Würde ja auch hinkommen. Wäre dann alles 0.
und der sinus von [mm] \pi [/mm] = 0.
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Hallo Markus!
$f(x) \ = \ [mm] \sin(x) [/mm] \ = \ [mm] \sum_{j=0}^\infty \frac{f^{(j)}(x_0)}{j!}(x-x_0)^j [/mm] \ = \ [mm] \frac{f(\pi)}{0!}*(x-\pi)^0+\frac{f'(\pi)}{1!}*(x-\pi)^1+\frac{f''(\pi)}{2!}*(x-\pi)^2+\frac{f'''(\pi)}{3!}*(x-\pi)^3+... [/mm] \ = \ [mm] f(\pi)+\frac{f'(\pi)}{1}*(x-\pi)+\frac{f''(\pi)}{2}*(x-\pi)^2+\frac{f'''(\pi)}{6}*(x-\pi)^3+... [/mm] $
Und wie Christian schon schrieb, musst Du Dir noch die Werte [mm] $f(\pi)$ [/mm] , [mm] $f'(\pi)$ [/mm] , [mm] $f''(\pi)$ [/mm] usw. ausrechnen.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Fr 10.03.2006 | | Autor: | MarkusUhl |
Danke dir. Nun hab es glaube ich auch ich verstanden.
Daher ist das was ich oben geschrieben habe falsch oder?
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Sry ich bin echt zu dumm für diese Welt. Oh man.
Und wie rechne ich nun genau [mm] f'(\pi) [/mm] aus.
Das ist doch immer Null? oder nicht?
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Hallo Markus!
Du musst schon erst die Ableitung(en) ermitteln und dann den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \pi$ [/mm] einsetzen:
$f(x) \ = \ [mm] \sin(x)$ $\Rightarrow$ $f(\pi) [/mm] \ = \ [mm] \sin(\pi) [/mm] \ = \ 0$
$f'(x) \ = \ [mm] \cos(x)$ $\Rightarrow$ $f'(\pi) [/mm] \ = \ [mm] \cos(\pi) [/mm] \ = \ -1$
$f''(x) \ = \ [mm] -\sin(x)$ $\Rightarrow$ $f''(\pi) [/mm] \ = \ [mm] -\sin(\pi) [/mm] \ = \ 0$
usw.
Gruß vom
Roadrunner
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Danke wenn ich dich nicht hätte..
Also ist es ja doch richtig, was ich oben geschrieben habe.
Toll und was hab ich nun davon. das 0 rauskommt.
Lol. Danke euch allen.
werd mich dann mal an de e-Funtkion machen an der stelle 1 oder so
Danke euch
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Hallo Markus!
> Also ist es ja doch richtig, was ich oben geschrieben habe.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du summierst ja lediglich über die Potenzen von $x_$ und nicht wie es heißen müsste über die Potenzen von [mm] $(x-\pi)$ [/mm] ...
> Toll und was hab ich nun davon. das 0 rauskommt.
Damit vereinfacht sich nun meine obige Darstellung der Reihe drastisch:
$f(x) \ = \ [mm] f(\pi)+\frac{f'(\pi)}{1}*(x-\pi)+\frac{f''(\pi)}{2}*(x-\pi)^2+\frac{f'''(\pi)}{6}*(x-\pi)^3+... [/mm] \ = \ [mm] 0+\frac{-1}{1}*(x-\pi)+\frac{0}{2}*(x-\pi)^2+\frac{+1}{6}*(x-\pi)^3+...$
[/mm]
$= \ [mm] -(x-\pi)+\frac{1}{6}*(x-\pi)^3-\frac{1}{120}*(x-\pi)^5\pm... [/mm] $
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Do 16.03.2006 | | Autor: | MarkusUhl |
Es muss aber doch am Anfang x [mm] -\pi [/mm] heißen oder. Denn die ableitung des coinos ist doch 1
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Hallo MarkusUhl,
> Es muss aber doch am Anfang x [mm]-\pi[/mm] heißen oder. Denn die
> ableitung des coinos ist doch 1
Zu x- [mm] \pi [/mm] gehört die erste Ableitung die ist cos(x) und [mm] cos(\pi)=-1
[/mm]
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Do 16.03.2006 | | Autor: | MarkusUhl |
ja ist klar, aber irgendwie ist nix klar^^
wenn ich jetzt das von Roadrunner ausrechne. und die Funktion gleich 0 setzte müsste ich doch Pie herausbekommen, oder?
Habs nochmal nachgerechnet, stimmt. Kommt Pie raus. Muss mich wohl vertippt haben. Oh man....
Na ja noch ne Frage, was bringt es mir denn, wenn ich so Pie ausrechne, da ich ja eh mit Pie schon rechnen muss.
Versteht iht was ich mein. das x [mm] -\pi [/mm] brauch ich ja zum rechnen... also muss es vorher schon bekannt sein.
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Hallo MarkusUhl,
Wie Du mit der Taylorreihe [mm] \pi [/mm] ausrechnen willst ist mir unklar. Darauf könntest Du ja noch etwas näher eingehen.
gruß
mathemaduenn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Do 16.03.2006 | | Autor: | MarkusUhl |
Ich kann doch mit Taylorreihe die stelle [mm] x_{0}=\pi [/mm] für die Sinus Funktion nähern. Haben wir ja oben gemacht.
Setzen wir diese Funktion gleich 0, berechnen wir doch die Nullstelle. Die Nusstelle ist doch [mm] \pi. [/mm] So müsste man doch [mm] \pi [/mm] errechnen können.
Nur das ist ja eigentlich schwachsinn, da wir ja um Pi errechnen zu können schon [mm] \pi [/mm] haben müssen.
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Hallo Markus,
> Ich kann doch mit Taylorreihe die stelle [mm]x_{0}=\pi[/mm] für die
> Sinus Funktion nähern. Haben wir ja oben gemacht.
> Setzen wir diese Funktion gleich 0, berechnen wir doch die
> Nullstelle. Die Nusstelle ist doch [mm]\pi.[/mm] So müsste man doch
> [mm]\pi[/mm] errechnen können.
> Nur das ist ja eigentlich schwachsinn, da wir ja um Pi
> errechnen zu können schon [mm]\pi[/mm] haben müssen.
Das ist sicher richtig.
Die Nullstelle über die Taylorreihe zu bestimmen wird i.A. aber schwierig werden. Hier nat. nicht man sieht sie ja auf den ersten Blick.
Doch nochmal die Frage: Kannst Du mir verraten was Du hier (mit dem TR?) getippt hast um [mm] \pi [/mm] zu bestimmen?
gruß
mathemaduenn
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