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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 So 24.09.2006 | | Autor: | phrygian |
Hallo zusammen!
Im Buch "Einführung in die Algebra" von Fischer/Sacher steht auf S. 23 folgendes:
Im Falle [mm] $m\not= [/mm] 0$ gilt für ganze Zahlen k und l:
[mm] \begin{matrix}
k\equiv l\ mod\ m\IZ & \gdw & l-k \in m\IZ \\
\ & \gdw& l-k \mbox{ ist durch m teibar} \\
\ & \gdw& \mbox{ k und l haben bei Division durch m denselben nichtnegativen Rest.}
\end{matrix} [/mm]
Ich habe Fragen zum Beweis der Äquivalenz
$ l-k [mm] \mbox{ ist durch m teibar}\gdw \mbox{ k und l haben bei Division durch m denselben nichtnegativen Rest}$ [/mm] .
" [mm] \Leftarrow [/mm] ": Ich bezeichne den nichtnegativen Rest, den k und l bei Division durch m haben, mit r. Es gibt also ganze Zahlen p und q, so daß
[mm] $\bruch{k}{m}=p+r$ [/mm]
und
[mm] $\bruch{l}{m}=q+r$ [/mm]
gelten.
Daraus folgen
$k=mp+mr$
und
$l=mq+mr$ .
Deshalb ist
$l-k=mq+mr-mp-mr=m(q-p)$
und $l-k$ damit durch $m$ teilbar.
Stimmt das soweit?
Bei der anderen Richtung bin ich nicht weit gekommen. Aus $m|(l-k)$ kann man folgern , daß es eine ganze Zahl $n$ gibt mit $l-k=mn$.
Wie geht's jetzt weiter? Kommt man ohne Division mit Rest überhaupt weiter? ( Diese wird erst später im Buch eingeführt.)
Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand einen kleinen Hinweis geben könnte!
Gruß, phrygian
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Hi,
dein Beweis stimmt so leider nicht, widerlegen kannst du ihn, indem du einfach für deine Variabeln mal Zahlen einsetzt, dann merkst du den Fehler 
Am Ende stimmt er allerdings, richtig aufgeschrieben würde er aber so lauten:
" [mm]\Leftarrow[/mm] ": Ich bezeichne den nichtnegativen Rest, den k und l bei Division durch m haben, mit r. Es gibt also ganze Zahlen p und q, so daß
[mm]k = mp + r[/mm]
[mm]l = mq + r[/mm]
[mm]k - l = mp + r - mq - r = mp - mq = m(p-q) [/mm]
[mm]\Rightarrow m|k-l[/mm]
Die Rückrichtung muss ich mir noch angucken, daher erstmal nur teilweise beantwortet.
edit: Ok, geht doch einfacher, als Gedacht :)
" [mm]\Rightarrow[/mm] ": k-l ist durch m Teilbar, d.h. es existiert ein z, so dass gilt:
[mm]k - l = mz [/mm] (1)
Sei l nun durch m Teilbar mit Rest r (wobei r hier auch 0 sein kann), dann gilt:
[mm]l = mq + r[/mm] (2)
Umformen von (1)
[mm]k - l = mz \gdw k = mz + l = mz + mq +r = m(z+q) + r[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] k und l haben den gleichen Rest nach Division durch m
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 24.09.2006 | | Autor: | phrygian |
Hi Gono!
Zuerst mal vielen Dank für Deine Antwort!
> dein Beweis stimmt so leider nicht, widerlegen kannst du
> ihn, indem du einfach für deine Variabeln mal Zahlen
> einsetzt, dann merkst du den Fehler
Was für ein peinlicher Fehler...
> Am Ende stimmt er allerdings, richtig aufgeschrieben würde
> er aber so lauten:
>
> " [mm]\Leftarrow[/mm] ": Ich bezeichne den nichtnegativen Rest, den
> k und l bei Division durch m haben, mit r. Es gibt also
> ganze Zahlen p und q, so daß
>
> [mm]k = mp + r[/mm]
> [mm]l = mq + r[/mm]
>
> [mm]k - l = mp + r - mq - r = mp - mq = m(p-q)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow m|k-l[/mm]
>
> Die Rückrichtung muss ich mir noch angucken, daher erstmal
> nur teilweise beantwortet.
>
>
> edit: Ok, geht doch einfacher, als Gedacht :)
>
> " [mm]\Rightarrow[/mm] ": k-l ist durch m Teilbar, d.h. es existiert
> ein z, so dass gilt:
>
> [mm]k - l = mz[/mm] (1)
>
> Sei l nun durch m Teilbar mit Rest r (wobei r hier auch 0
> sein kann), dann gilt:
>
> [mm]l = mq + r[/mm] (2)
Hier benutzt Du die Division mit Rest. Ich habe mich gefragt, ob das auch ohne geht, denn für den Beweis der Existenz von [mm] $q\in \IZ$ [/mm] und [mm] $r\in \IN_0$ [/mm] ($r<|m|$) braucht man die Wohlordnung von [mm] $\IZ$ [/mm] - und die ist im Buch bis jetzt noch nicht erwähnt worden.
> Umformen von (1)
>
> [mm]k - l = mz \gdw k = mz + l = mz + mq +r = m(z+q) + r[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] k und l haben den gleichen Rest nach Division
> durch m
Bis auf die Frage oben ist jetzt alles klar. Nochmals vielen Dank!
Gruß, phrygian
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Naja,
du sollst ja zeigen, daß beide Zahlen dann nach Division durch m den gleichen Rest haben.... den Rest kannst du doch aber nur haben, wenn du eine Division MIT Rest ausführst ?????
Wie willst du den Rest einer Division herausbekommen, ohne die Division mit Rest zu benutzen...... meines Erachtens nach schliesst eine das andere aus.
Aber ich lass die Frage mal teilweise unbeantwortet, vielleicht findet sich ja nen findiger Mitleser, der das hinbekommst, was du willst.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 So 24.09.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
verklickt^^
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