Teilbarkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Mi 09.12.2009 | | Autor: | da_kiwi |
| Aufgabe | Seien [mm] a\ge1 [/mm] und [mm] b\ge1 [/mm] beliebige natürliche Zahlen. Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) ggT(a,b)=1
(ii)Für alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] und [mm] m\ge1 [/mm] gilt: [mm] ggT(a^n,b^m)=1
[/mm]
(Tipp: Verwenden Sie einen (fast) entsprechenden Satz der Vorlesungen vom ....) |
Hey,
Also nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik folgt aus ggT(a,b)=1 dass die Primfaktoren von a und b verschieden sind,...deshalb gilt doch auch [mm] ggT(a^n,b^m)=ggT(a,b)=1 [/mm] die Potenz wirkt sich ja nur auf die jeweiligen verschiedenen PrimFaktoren aus, deshalb gilt auch diese Äquivalenz.
Reicht das so zu begründen? Oder kann man das noch irgendwie durch diesen fundamental Satz mathematisch schöner schreiben?
Grüße
|
|
| |
|
Hallo da_kiwi,
Idee richtig, aber zu viel Text. Versuch mal, eine etwas "mathematischere" Notation zu finden.
Andere Beweismöglichkeit:
(ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i) ist einfach - setze m=n=1.
(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) folgt hieraus:
Sei ggT(x,z)=ggT(y,z)=1. Dann ist ggT(xy,z)=1.
Hast Du letzteres schonmal irgendwo gehört oder gezeigt?
lg
reverend
|
|
|
| |
|
Hey
okay dann versuch ich´s mal.
Seien a und b [mm] \ge1 \in\IN
[/mm]
Zuzeigen sei die Äquivalenz von ggT(a,b)=1 und [mm] ggT(a^n,a^m)=1 [/mm] (n und m [mm] \ge1 \in\IN)
[/mm]
Nach dem Satz der eindeutigen Zerlegung in Primfaktoren sei:
[mm] a=s_{1}^{\alpha_{1}}*s_{2}^{\alpha_{2}}*.....s_{x}^{\alpha_{x}}
[/mm]
[mm] b=t_{1}^{\beta_{1}}*t_{2}^{\beta_{2}}*.....t_{y}^{\beta_{y}}
[/mm]
Nach ggT(a,b)=1 folgt also [mm] \produkt_{i=1}^{x}s_{i}^{\alpha_{i}}\not=\produkt_{i=1}^{y}t_{i}^{\beta_{i}}
[/mm]
Weiter sei:
[mm] a^n=s_{1}^{n*\alpha_{1}}*s_{2}^{n*\alpha_{2}}*.....s_{x}^{n*\alpha_{x}}
[/mm]
[mm] b^m=t_{1}^{m*\beta_{1}}*t_{2}^{m*\beta_{2}}*.....t_{y}^{m*\beta_{y}}
[/mm]
Da die Primzahlen immer noch nach ggT(a,b)=1 mit [mm] \produkt_{i=1}^{x}s_{i}^{\alpha_{i}}\not=\produkt_{i=1}^{y}t_{i}^{\beta_{i}} [/mm] verschieden sind. Folgt auch für [mm] ggT(a^n,b^m)=1 [/mm]
mit [mm] \produkt_{i=1}^{x}s_{i}^{n*\alpha_{i}}\not=\produkt_{i=1}^{y}t_{i}^{*m\beta_{i}}
[/mm]
Kurs zusammengefasst
Es gilt [mm] ggT(a,b)=ggT(a^n,a^m)=1 [/mm] weil [mm] ggT(s_{1}^{\alpha_{1}}*s_{2}^{\alpha_{2}}*.....s_{x}^{\alpha_{x}},t_{1}^{\beta_{1}}*t_{2}^{\beta_{2}}*.....t_{y}^{\beta_{y}})=ggT(s_{1}^{n*\alpha_{1}}*s_{2}^{n*\alpha_{2}}*.....s_{x}^{n*\alpha_{x}},b^m=t_{1}^{m*\beta_{1}}*t_{2}^{m*\beta_{2}}*.....t_{y}^{m*\beta_{y}})=1 [/mm] gilt offensichtlich. Die Primelemente sind verschieden, weil ja a und b teilerfremd sind. Die Potenz spielt keinerlei Rolle.
Hab ich jetzt irgendwas zu oft oder einfach unnötig erwähnt? Würde das "Zusammengefasste" für den Beweis schon ausreichen?
Der Beweis von (i) -> (ii) ist klar ;) ... Aber von (ii) -> (i) wüsste ich nicht auf an Anhieb, was man mit ggT(x,z)=ggT(y,z)=ggT(xy,z)=1 machen müsste(vom Beweis ganz abgesehn ;))
Grüße da_kiwi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Do 10.12.2009 | | Autor: | da_kiwi |
Hey
mir is gerade aufgefallen, dass ich ausversehn unter Blaub33r3´s Nick geantwortet habe!^^ Bitte nicht falsch verstehen...Ich klär das mal kurz auf...
Ich BIN nicht Blaub33r3 aber Blaub33r3´s(Daniel) war an meinem PC noch eingeloggt gewesen...Das hängt damit zusammen dass wir zusammen wohnen, die selbe Übungsgruppe für Arithmetik besuchen und auch die Aufgaben immer versuchen zusammen zulösen^^...Wir sind also keine doppel Nickuser oder sowas. Ich hoffe das wird jetzt nicht missinterpretiert oder mit anderen Sanktionen hier bestraft..
Also tut uns leid wegen dem fälschlichen Gebrauch unserer Nicks, war wirklich nur ausversehn und wird nicht wieder vorkommen!^^
Naja^^.....wär schön wenn ihr nochmal einen Blick über Antwort von uns werfen könntet.
Liebe Grüße, Daniel und David.
|
|
|
| |
|
Hallo da_kiwi,
viel zu lang...
> Seien a und b [mm]\ge1 \in\IN[/mm]
>
> Zuzeigen sei die Äquivalenz von ggT(a,b)=1 und
> [mm]ggT(a^n,a^m)=1[/mm] (n und m [mm]\ge1 \in\IN)[/mm]
>
> Nach dem Satz der eindeutigen Zerlegung in Primfaktoren
> sei:
>
> [mm]a=s_{1}^{\alpha_{1}}*s_{2}^{\alpha_{2}}*.....s_{x}^{\alpha_{x}}[/mm]
>
> [mm]b=t_{1}^{\beta_{1}}*t_{2}^{\beta_{2}}*.....t_{y}^{\beta_{y}}[/mm]
Bis hier gut.
> Nach ggT(a,b)=1 folgt also
> [mm]\produkt_{i=1}^{x}s_{i}^{\alpha_{i}}\not=\produkt_{i=1}^{y}t_{i}^{\beta_{i}}[/mm]
Na, das könntest Du schon aus [mm] a\not=b [/mm] folgern. Das stimmt also so nicht. (Auch wenn die Aussage als solche ja richtig ist.)
Richtig ist: [mm]ggT(a,b)=1\ \gdw\ s_i\not=t_j\ \forall i,j[/mm]
Und was heißt das nun für [mm] a^n [/mm] und [mm] b^m [/mm] ?
lg
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Fr 11.12.2009 | | Autor: | da_kiwi |
Hey
> Hallo da_kiwi,
>
> viel zu lang...
>
> > Seien a und b [mm]\ge1 \in\IN[/mm]
> >
> > Zuzeigen sei die Äquivalenz von ggT(a,b)=1 und
> > [mm]ggT(a^n,a^m)=1[/mm] (n und m [mm]\ge1 \in\IN)[/mm]
> >
> > Nach dem Satz der eindeutigen Zerlegung in Primfaktoren
> > sei:
> [mm]a=s_{1}^{\alpha_{1}}*s_{2}^{\alpha_{2}}*.....s_{x}^{\alpha_{x}}[/mm]
>
> [mm]b=t_{1}^{\beta_{1}}*t_{2}^{\beta_{2}}*.....t_{y}^{\beta_{y}}[/mm]
>
> Bis hier gut.
>
> Richtig ist: [mm]ggT(a,b)=1\ \gdw\ s_i\not=t_j\ \forall i,j[/mm]
>
> Und was heißt das nun für [mm]a^n[/mm] und [mm]b^m[/mm] ?
>
> lg
> rev
Das gilt ebenfalls für [mm] ggT(a^n,b^m)=1 [/mm] <=> [mm] s_i\not=t_j\ \forall [/mm] i,j ? Die Potenz spielt ja keine Rolle! Reicht das schon? Oder wolltest du was anders hören?
Grüße
|
|
|
| |
|
Nö, so ist es gut.
Schon fertig. 
lg
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Fr 11.12.2009 | | Autor: | da_kiwi |
Okay, krass. Dann hat sich die Antwort wirklich sehr stark komprimiert :)
Danke schööön.
|
|
|
|
