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| Aufgabe | Sei $ n [mm] \ge [/mm] 2 $ eine ganze Zahl mit der Eigenschaft, dass wenn n durch eine Primzahl p geteilt wird, auch [mm] p^2 [/mm] n teilt.
Beweisen Sie, dass n als produkt eines quadrates und einer dritten potenz geschrieben werden kann. |
Hi,
also meine Überlegung war folgende:
durch die angabe, dass auch [mm] p^2 [/mm] n teilt, erfährt man, dass alle potenzen in der primfaktorzerlegung von n mindestens zwei sein müssen. Sonst wäre ja die Bedingung für n gar nicht erfüllt. Wenn n jetzt durch das quadrat der Primzahl geteilt wird, bleibt also entweder 1 übrig (wenn n das quadrat der primzahl ist) oder aber andere faktoren, die aber auch wieder mindestens ein quadrat sind. Das ganze kann man dann so lange durchführen bis man auf eins kommt (was ja eine dritte potenz wäre) oder man erreicht vorher den punkt an dem man auf eine ungerade potenz stößt. Stößt man nun auf eine ungerade potenz kann diese zwar höher als 3 sein, aber dies impliziert, dass sie wieder durch ein quadrat geteilt werden kann.
Ich glaube damit einen beweis gefunden zu haben. nur wie schreibe ich das mathematisch korrekt auf ?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Fr 01.01.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> durch die angabe, dass auch [mm]p^2[/mm] n teilt, erfährt man, dass
> alle potenzen in der primfaktorzerlegung von n mindestens
> zwei sein müssen. Sonst wäre ja die Bedingung für n gar
> nicht erfüllt.
Genau !
> Wenn n jetzt durch das quadrat der Primzahl
> geteilt wird, bleibt also entweder 1 übrig (wenn n das
> quadrat der primzahl ist) oder aber andere faktoren, die
> aber auch wieder mindestens ein quadrat sind.
Das muss nicht so sein !
> Das ganze
> kann man dann so lange durchführen bis man auf eins kommt
> (was ja eine dritte potenz wäre) oder man erreicht vorher
> den punkt an dem man auf eine ungerade potenz stößt.
> Stößt man nun auf eine ungerade potenz kann diese zwar
> höher als 3 sein, aber dies impliziert, dass sie wieder
> durch ein quadrat geteilt werden kann.
>
> Ich glaube damit einen beweis gefunden zu haben. nur wie
> schreibe ich das mathematisch korrekt auf ?
>
> Lg
Vielleicht so :
Man betrachte die Primfaktorzerlegung von n : n = [mm] \produkt p_{i}^{\alpha_i} [/mm] wobei alle [mm] \alpha_i \ge [/mm] 2 sind.
Die [mm] \alpha_i [/mm] sind also entweder von der Form [mm] \alpha_i [/mm] = [mm] 2*\beta_i [/mm] (wenn sie gerade sind) oder von der Form [mm] \alpha_i [/mm] = [mm] 2*\gamma_i+3 [/mm] (wenn sie ungerade sind) mit [mm] \beta_i [/mm] , [mm] \gamma_i [/mm] > 1.
Somit wird [mm] n=\produkt p_{j}^{2*\beta_j}*p_{k}^{2*\gamma_k+3} [/mm] = [mm] (\produkt p_{j}^{\beta_j}*p_{k}^{\gamma_k})^2*(\produkt p_k)^3.
[/mm]
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Fr 01.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Hi,
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> >
> > durch die angabe, dass auch [mm]p^2[/mm] n teilt, erfährt man, dass
> > alle potenzen in der primfaktorzerlegung von n mindestens
> > zwei sein müssen. Sonst wäre ja die Bedingung für n gar
> > nicht erfüllt.
>
> Genau !
>
> > Wenn n jetzt durch das quadrat der Primzahl
> > geteilt wird, bleibt also entweder 1 übrig (wenn n das
> > quadrat der primzahl ist) oder aber andere faktoren, die
> > aber auch wieder mindestens ein quadrat sind.
>
> Das muss nicht so sein !
>
> > Das ganze
> > kann man dann so lange durchführen bis man auf eins kommt
> > (was ja eine dritte potenz wäre) oder man erreicht vorher
> > den punkt an dem man auf eine ungerade potenz stößt.
> > Stößt man nun auf eine ungerade potenz kann diese zwar
> > höher als 3 sein, aber dies impliziert, dass sie wieder
> > durch ein quadrat geteilt werden kann.
> >
> > Ich glaube damit einen beweis gefunden zu haben. nur wie
> > schreibe ich das mathematisch korrekt auf ?
> >
> > Lg
>
>
> Vielleicht so :
>
> Man betrachte die Primfaktorzerlegung von n : n = [mm]\produkt p_{i}^{\alpha_i}[/mm]
> wobei alle [mm]\alpha_i \ge[/mm] 2 sind.
> Die [mm]\alpha_i[/mm] sind also entweder von der Form [mm]\alpha_i[/mm] =
> [mm]2*\beta_i[/mm] (wenn sie gerade sind) oder von der Form [mm]\alpha_i[/mm]
> = [mm]2*\gamma_i+3[/mm] (wenn sie ungerade sind) mit [mm]\beta_i[/mm] ,
> [mm]\gamma_i[/mm] > 1.
> Somit wird [mm]n=\produkt p_{j}^{2*\beta_j}*p_{k}^{2*\gamma_k+3}[/mm]
> = [mm](\produkt p_{j}^{\beta_j}*p_{k}^{\gamma_k})^2*(\produkt p_k)^3.[/mm]
>
> Gruß Sax.
Hallo,
eine kleine Ergänzung:
Gesondert muss man auf den Fall eingehen, dass sämtliche Primfaktoren in der ungeraden Anzahl 3 vorkommen. Der quadratische Faktor ergibt sich dann nicht aus dem Quadrat VORHANDENER Primfaktoren, sondern aus dem Faktor [mm] 1=1^2.
[/mm]
Gruß Abakus
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Fr 01.01.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
großartig. vielen dank euch.
ich glaube ich lerne es nie... wirklich frustrierend.
Lg,
exe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Sa 02.01.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo exeqter,
> ich glaube ich lerne es nie... wirklich frustrierend.
Das ist ein normales Gefühl. Wer es nie hatte, hat auch nie gelernt.
Das Komma im letzten Satz ist allgemeinsprachlich unpräzise. Besser wäre ein [mm] \Rightarrow, [/mm] aber eben kein [mm] \gdw [/mm] an dieser Stelle.
Mit anderen Worten: du wirst es lernen, weil Du es lernen willst.
Verzweifle also nicht, sondern mach weiter. Der Durchblick, die Verknüpfung zu einem großen Ganzen, kommt im allgemeinen irgendwann, nur nicht vorhersagbar. Gib diese Hoffnung nicht auf.
Übrigens finde ich den Hinweis von abakus (wie so oft) bedenkenswert. Die Aufgabe wird wohl kaum gemeint haben, dass das beteiligte Quadrat nur [mm] 1^2 [/mm] sei - das ist einfach zu trivial, um die Aussage "Produkt aus Quadrat- und Kubikzahl" zu treffen. Ohne Zweifel ist das aber eine Möglichkeit.
Darum ist es sicher ein guter Schachzug, ein solches n zu finden, und es dem Aufgabensteller zu präsentieren. Die Aufgabe ist nicht genau genug formuliert.
lg
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Sa 02.01.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
danke für die aufmunterung.
die ungenauigkeiten in der aufgabenstellung resultieren aus meiner - manchmal - unzureichend präzisen übersetzung.
ich arbeite dran :)
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