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Teilbarkeit Nachweisen: "a ist Teiler von b" - Zeigen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Sa 19.01.2013
Autor: Peeter123

Aufgabe
Zeigen Sie:

5 | [mm] (9^{16}-4^{16}) [/mm]

Hallo,

Ist mein Nachweis korrekt?

(5 | [mm] (9^{16}-4^{16})) \gdw [/mm]   ( [mm] \bruch{9^{16}-4^{16}}{5} [/mm] = [mm] \bruch{5^{16}}{5} [/mm] = [mm] 5^{15}) [/mm]

        
Bezug
Teilbarkeit Nachweisen: Potenzgesetze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Sa 19.01.2013
Autor: Loddar

Hallo Peeter!


Nur als Hinweis. Es gilt definitiv im Allgemeinen: [mm] $a^n-b^n [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] (a-n)^n$ [/mm] !


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Teilbarkeit Nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Sa 19.01.2013
Autor: Fulla

Hallo Peeter!

> Zeigen Sie:
>  
> 5 | [mm](9^{16}-4^{16})[/mm]
>  Hallo,
>  
> Ist mein Nachweis korrekt?
>  
> (5 | [mm](9^{16}-4^{16})) \gdw[/mm]   ( [mm]\bruch{9^{16}-4^{16}}{5}[/mm] =
> [mm]\bruch{5^{16}}{5}[/mm] = [mm]5^{15})[/mm]  

Wende (mehrfach) eine binomische Formel auf [mm]9^{16}-4^{16}[/mm] an.

Lieben Gruß,
Fulla


Bezug
                
Bezug
Teilbarkeit Nachweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Sa 19.01.2013
Autor: Peeter123

Hallo,

Loddar:
Da hab ich die Potenzgesetze wohl nicht ganz beachtet...



> Wende (mehrfach) eine binomische Formel auf [mm]9^{16}-4^{16}[/mm]
> an.
>  

Ich habe nun herausgefunden wie man

[mm] 9^{16}-4^{16} [/mm]

mithilfe der Binomischen Formel umschreiben bzw faktorisieren kann:

http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formel#Verallgemeinerungen

Aber wenn ich das mache, dann habe ich einen Ausdruck folgender Art dort stehen:


[mm] 9^{16}-4^{16}=(9-4)*(9^{15}+....+b^{15}) [/mm]

stehen.
Aber wie bringt mich das bei meinem Problem weiter, bei dem ich

5 | [mm] (9-4)*(9^{15}+....+b^{15}) [/mm]

zeigen soll? Ich meine das vereinfacht das ganze ja nicht.

Bezug
                        
Bezug
Teilbarkeit Nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Sa 19.01.2013
Autor: Fulla

Hallo nochmal,

so war das nicht gemeint. Benutze [mm]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/mm], mit [mm]9^{16}=(9^8)^2[/mm] und [mm]4^{16}=(4^8)^2[/mm] folgt also [mm]9^{16}-4^{16}=(9^8+4^8)(9^8-4^8)[/mm]. Wende das noch ein paar mal an...

Aber du kannst auch deinen Weg weiterverfolgen, bzw. du bist ja eigentlich schon fertig.
Du hast [mm]9^{16}-4^{16}=(9-4)(\text{irgendein Ausdruck})=5\cdot(\text{irgendein Ausdruck})[/mm] und das ist offensichtlich durch 5 teilbar.

Lieben Gruß,
Fulla


Bezug
                                
Bezug
Teilbarkeit Nachweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 Sa 19.01.2013
Autor: Peeter123


> so war das nicht gemeint. Benutze [mm]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/mm], mit
> [mm]9^{16}=(9^8)^2[/mm] und [mm]4^{16}=(4^8)^2[/mm] folgt also
> [mm]9^{16}-4^{16}=(9^8+4^8)(9^8-4^8)[/mm]. Wende das noch ein paar
> mal an...
>  

Ok, so würde es auch gehen.


> Aber du kannst auch deinen Weg weiterverfolgen, bzw. du
> bist ja eigentlich schon fertig.
>  Du hast [mm]9^{16}-4^{16}=(9-4)(\text{irgendein Ausdruck})=5\cdot(\text{irgendein Ausdruck})[/mm]
> und das ist offensichtlich durch 5 teilbar.

Stimmt, einfach wegkürzen und fertig.


Danke euch beiden, jetzt ist alles klar ;)

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