Teilbarkeit Widerspruchsbeweis < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussage mit einem Widerspruchsbeweis:
Für alle a,b,c [mm] \in \IN [/mm] gilt: a|b und a "teilt nicht" c [mm] \Rightarrow [/mm] a "teilt nicht" (b+c) |
Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, in der man die obige Aussage beweisen soll. Wir sollen es mit einem Widerspruchsbeweis beweisen und ich habe es nur ohne Widerspruchsbeweis hinbekommen.
Könnt ihr mir helfen?
Angefangen habe ich mit der Annahme:
a|b und a "teilt nicht" c [mm] \Rightarrow [/mm] a|(b+c).
Dies wollte ich gerne zum Widerspruch führen, allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich anfangen soll?
Über schnelle Hilfe würde ich mich sehr freuen!
Liebe Grüße!
Katrin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Mo 03.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Es gelte $a|b$ und [mm] $a\not| [/mm] c$. Angenommen, $a|b+c$, dann gibt es ganze zahlen [mm] $z_1,z_2$ [/mm] derart, dass
1) [mm] $b=z_1\cdot [/mm] a$
2) [mm] $b+c=z_2\cdot [/mm] a$
Daraus folgt der Widerspruch $a|c$ (wie?).
Gruß, Robert
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Danke für die schnelle Hilfe!
Achso, man darf einfach [mm] b+c=z_2\cdot [/mm] a annehmen? Ich dachte, man müsse die linke Seite der Gleichung umformen, da ja kein Äquivalenzpfeil gegeben ist...
Ich habe jetzt aus deinen beiden Gleichungen
[mm] b=z_1 \cdot [/mm] a und
[mm] b+c=z_2\cdot [/mm] a
gemacht
[mm] z_1 \cdot [/mm] a+c= [mm] z_2 \cdot [/mm] a
[mm] \gdw [/mm] c= [mm] z_2\cdot a-z_1\cdot [/mm] a
[mm] \gdw c=(z_2-z_1) \cdot [/mm] a
Bin ich auf dem richtigen Weg? Mit [mm] z_2 \ge z_1 [/mm] würde c ja von a geteilt werden und somit wäre das ein Widerspruch. Aber was ist, wenn [mm] z_1 \ge z_2? [/mm] Dann ist [mm] (z_2-z_1) [/mm] ja negativ und nicht mehr Element von [mm] \IN?
[/mm]
Kannst du mir an der Stelle nochmal weiterhelfen?
Danke!
Liebe Grüße!
Katrin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mo 03.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Danke für die schnelle Hilfe!
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> Achso, man darf einfach [mm]b+c=z_2\cdot[/mm] a annehmen? Ich
> dachte, man müsse die linke Seite der Gleichung umformen,
> da ja kein Äquivalenzpfeil gegeben ist...
>
> Ich habe jetzt aus deinen beiden Gleichungen
> [mm]b=z_1 \cdot[/mm] a und
> [mm]b+c=z_2\cdot[/mm] a
>
> gemacht
> [mm]z_1 \cdot[/mm] a+c= [mm]z_2 \cdot[/mm] a
> [mm]\gdw[/mm] c= [mm]z_2\cdot a-z_1\cdot[/mm] a
> [mm]\gdw c=(z_2-z_1) \cdot[/mm] a
>
> Bin ich auf dem richtigen Weg?
> Mit [mm]z_2 \ge z_1[/mm] würde c ja
> von a geteilt werden und somit wäre das ein Widerspruch.
Ja.
> Aber was ist, wenn [mm]z_1 \ge z_2?[/mm] Dann ist [mm](z_2-z_1)[/mm] ja
> negativ und nicht mehr Element von [mm]\IN?[/mm]
Normalerweise definiert man Teilbarkeit auf den ganzen Zahlen, in diesem Sinne ist dann $2$ ein Teiler von $-8$ usw.
Wenn du dich aber aus irgendwelchen Gründen auf [mm] $\IN$ [/mm] beschränken musst, dann ist doch klar dass [mm] $z_1$ [/mm] niemals größer als [mm] $z_2$ [/mm] sein kann, denn wegen [mm] $a\cdot z_1 [/mm] + [mm] c=a\cdot z_2$ [/mm] (Gleichung 1) und 2) zusammengeworfen) folgt doch sofort, dass [mm] $a\cdot z_1
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Zottelchen |
> Wenn du dich aber aus irgendwelchen Gründen auf [mm]\IN[/mm]
> beschränken musst,
> dann ist doch klar dass [mm]z_1[/mm] niemals
> größer als [mm]z_2[/mm] sein kann, denn wegen [mm]a\cdot z_1 + c=a\cdot z_2[/mm]
> (Gleichung 1) und 2) zusammengeworfen) folgt doch sofort,
> dass [mm]a\cdot z_1
> Seite addierst du ja noch ein (positives) c.
>
> Gruß, Robert
Stimmt! Darauf hätte ich auch selber kommen können...Dankeschön für deine Hilfe!
Liebe Grüße,
Katrin
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