Teilbarkeit durch Primzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:12 Do 23.11.2006 | | Autor: | Professor |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl. Schreibe die natürlichen Zahlen a und b in p-adischer Entwicklung, also
a = [mm] (a_{r}...a_{0})_{p} [/mm] , b = [mm] (b_{r}...b_{0})_{p}
[/mm]
(0 [mm] \le a_{i}, b_{i} [/mm] < p).
Zeige, dass der Binomialkoeffizient [mm] \vektor{a+b \\ a} [/mm] genau dann nicht durch p teilbar ist, wenn die p-adische Addition von a + b ohne Ziffernübertrag verläuft, falls also [mm] a_{i} [/mm] + [mm] b_{i} [/mm] < p für alle i gilt. |
Hallo,
nun habe ich erst einmal eine geraume Zeit gebraucht, damit ich überhaupt verstanden habe was mein Prof. in dieser Aufgabe eigentlich will.
Ich habe seine Aufgabe mal mit ein paar Zahlen durchgespielt.
z.B. p = 7
a = 2
b = 4
[mm] \bruch{720}{48} [/mm] = 15
15 ist nicht durch 7 teilbar.
ersetzt man bei b die 4 durch eine 6:
[mm] \bruch{40320}{1440} [/mm] = 28
28 ist durch 7 teilbar.
Nachdem andere Studenten mit der Aufgabe auch wenig anfangen konnten gab er uns folgenden Tipp:
[mm] v_{p}\vektor{a+b \\ a} [/mm] = [mm] v_{p}(a+b)! [/mm] - [mm] v_{p}(a!) [/mm] - [mm] v_{p}(b!)
[/mm]
Aus der Vorlesung weiß ich, dass [mm] v_{p}(n) [/mm] = p-adischer Wert von n ist (Exponent von p in Primzerlegung von n)
Leider konnte ich mit dem Tipp absolut nichts anfangen!
Ich hoffe jemand von euch ist so nett und hilft mir ein wenig weiter.
Danke schon mal.
Gruß
Prof.
PS: Dieses Zahlentheorie frisst mich noch auf! :-(
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> Sei p eine Primzahl. Schreibe die natürlichen Zahlen a und
> b in p-adischer Entwicklung, also
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> a = [mm](a_{r}...a_{0})_{p}[/mm] , b = [mm](b_{r}...b_{0})_{p}[/mm]
>
> (0 [mm]\le a_{i}, b_{i}[/mm] < p).
>
> Zeige, dass der Binomialkoeffizient [mm]\vektor{a+b \\ a}[/mm] genau
> dann nicht durch p teilbar ist, wenn die p-adische Addition
> von a + b ohne Ziffernübertrag verläuft, falls also [mm]a_{i}[/mm] +
> [mm]b_{i}[/mm] < p für alle i gilt.
> Hallo,
>
> nun habe ich erst einmal eine geraume Zeit gebraucht, damit
> ich überhaupt verstanden habe was mein Prof. in dieser
> Aufgabe eigentlich will.
>
> Ich habe seine Aufgabe mal mit ein paar Zahlen
> durchgespielt.
>
> z.B. p = 7
>
> a = 2
> b = 4
>
> [mm]\bruch{720}{48}[/mm] = 15
> 15 ist nicht durch 7 teilbar.
>
> ersetzt man bei b die 4 durch eine 6:
>
> [mm]\bruch{40320}{1440}[/mm] = 28
> 28 ist durch 7 teilbar.
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> Nachdem andere Studenten mit der Aufgabe auch wenig
> anfangen konnten gab er uns folgenden Tipp:
>
> [mm]v_{p}\vektor{a+b \\ a}[/mm] = [mm]v_{p}(a+b)![/mm] - [mm]v_{p}(a!)[/mm] -
> [mm]v_{p}(b!)[/mm]
>
> Aus der Vorlesung weiß ich, dass [mm]v_{p}(n)[/mm] = p-adischer Wert
> von n ist (Exponent von p in Primzerlegung von n)
>
Hallo Professor,
nee, [mm] $v_p(n!)=\bruch{n -\delta_p(n)}{p-1}$, [/mm] wobei [mm] $\delta_p(n)$ [/mm] die $p$-adische Ziffernsumme von $n$ ist.
Beispiel: $p=3, n=13$. [mm] $13=1101_{3}$, [/mm] also [mm] $\delta_3(13)=3$. [/mm] Dann [mm] $\bruch{13-3}{3-1}=5$, [/mm] und das ist gerade die Potenz von 3 in der Primfaktorzerlegung von $13!$.
Im Grunde ist die Behauptung ein Spezialfall eines Satzes von Kummer: Die Potenz von $p$, die ${n [mm] \choose [/mm] m}$ teilt, ist gleich der Summe der Überträge bei Addition von $m$ und $n-m$ in $p$-adischer Schreibweise.
In Deinem Beispiel: $n=8, m=2$, bei Addition von 2 und 6 im "7er-System" gibt's einen Übertrag.
Ich weiß natürlich nicht, ob das jetzt die "Ursprüngliche" Aussage in Deiner Vorlesung war; sie ist eine Folgerung aus 'nem "Satz", den so weit ich weiß zuerst Legendre gefunden hat (und nach ihm noch andere  ): [mm][mm] \left\[ \bruch{n}{p}\right\] +\left\[ \bruch{n}{p^2}\right\]+\ldots$ [/mm] ist der Exponent der Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n!$.
Hoffe das hilft'n bißchen
Gruß
zahlenspieler
P.S.: Ich würde gern mit Dir tauschen, was Zahlentheo angeht <seufz>.
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Hallo,
Wie ist der Tipp:
> >
> > [mm]v_{p}\vektor{a+b \\ a}[/mm] = [mm]v_{p}(a+b)![/mm] - [mm]v_{p}(a!)[/mm] -
> > [mm]v_{p}(b!)[/mm]
> >
zu verstehen bzw. anzuwenden. Da ich von "Kummer" noch nichts gehört habe bin ich hier leider etwas überfordert.
Danke für die Antworten.
Schönes Restwochenende noch.
Gruß
Prof.
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Hallo Professor,
> Hallo,
>
> Wie ist der Tipp:
> > >
> > > [mm]v_{p}\vektor{a+b \\ a}[/mm] = [mm]v_{p}(a+b)![/mm] - [mm]v_{p}(a!)[/mm] -
> > > [mm]v_{p}(b!)[/mm]
> > >
>
> zu verstehen bzw. anzuwenden. Da ich von "Kummer" noch
> nichts gehört habe bin ich hier leider etwas überfordert.
ich hatte ein Riesenbrett vorm Kopf.
Mal ganz ohne konkrete Formel: Für [mm] $n\in \IN$ [/mm] und Primzahl $p$ bezeichne [mm] $v_p(n!)$ [/mm] die Potenz von $p$ in der PFZ von $n!$. D.h. [mm] $v_p(n!) \ge [/mm] 0$. Dann ist doch [mm]v_p((a+b)!) -v_p(a!) -v_p(b!)[/mm] der Exponent von $p$ in der PFZ von [mm]{a+b \choose a}[/mm].
Wenn $p$ [mm]{a+b \choose a}[mm] nicht teilt, kommt $p$ doch in der PFZ dieser Zahl nicht vor. D.h. [/mm]v_p((a+b)!)-v_p(a!)-v_p(b!)=0 \folgt v_p((a+b)!)=v_p(a!) +v_p(b!)[/mm].
Hm, jetzt wo ich das so lese: So ohne weiteres ist es schwierig, da weiterzukommen.
Hat der Prof nicht vielleicht doch wenigstens eine der Darstellungen für [mm] $v_p(n!)$ [/mm] (s. meine 1. Antwort)angegeben?
Ich denke, man muß sich mal eine Art "Indikator-Funktion" basteln (rekursiv) für den Übertrag bei Addition der $i$-ten $p$-adischen Ziffer. Muß mir das nochmal anschaun.
>
> Danke für die Antworten.
>
> Schönes Restwochenende noch.
Ebenso!
>
Mfg
zahlenspieler
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