Teilbarkeit durch Quadratzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Di 17.04.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass es vier aufeinanderfolgende natürliche Zahlen n, n + 1, n + 2, n + 3 (n [mm] \ge [/mm] 1) gibt, die jeweils durch eine Quadratzahl > 1 teilbar sind. |
Hallo,
wie geht man denn am besten an diese Aufgabe heran. Hier fehlt mir der Start.
Vielen Dank
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Es handelt sich um einen Existenzbeweis. Gib "einfach" das [mm]n[/mm] konkret an. Mit einem kleinen Programm habe ich eines zwischen 200 und 300 gefunden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 17.04.2012 | | Autor: | teo |
Aber das muss doch auch allgemein gehen. Im Examen werde ich kaum dieses konkrete n finden.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Di 17.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber das muss doch auch allgemein gehen. Im Examen werde
> ich kaum dieses konkrete n finden.
wie Abakus schon sagte, ist das ganz trivial:
Unter vier aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer eine dabei, die durch [mm] $4=2^2$ [/mm] teilbar ist. Denn die Menge der durch [mm] $4\,$ [/mm] teilbaren natürlichen Zahlen ist die Menge der Vielfachen von [mm] $4\,:$
[/mm]
[mm] $$\{4,8,12,16,20,24,...\}$$
[/mm]
Und in dieser Menge haben halt aufeinanderfolgende Zahlen stets den Abstand [mm] $4\,.$
[/mm]
Edit: Ich hatte mich bei der Aufgabenstellung verlesen und gemeint, dass gefragt war, dass von vier aufeinanderfolgenden Zahlen jeweils eine durch eine Quadratzahl teilbar sei.
Natürlich steht in der Aufgabe, dass ALLE durch eine (von der Zahl abhängigen) Quadratzahl teilbar sein sollen. Daher vergiss' die durchgestrichene Antwort!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Di 17.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie, dass es vier aufeinanderfolgende natürliche
> Zahlen n, n + 1, n + 2, n + 3 (n [mm]\ge[/mm] 1) gibt, die jeweils
> durch eine Quadratzahl > 1 teilbar sind.
> Hallo,
>
> wie geht man denn am besten an diese Aufgabe heran. Hier
> fehlt mir der Start.
>
> Vielen Dank
Hallo,
unter 4 aufeinander folgenden Zahlen ist stets eine durch die (Quadrat-)Zahl 4 teilbar.
Man kann die Zahlen auch so legen, dass eine durch 9 teilbare Zahl dabei ist. Wenn man die Zahlen noch so legt, dass eine von denen auf 25 oder 50 oder 75 oder 00 endet, hat man eine weitere Teilbarkeit durch eine Quadratzahl.
Die Folgen
24, 25, 26, 27
72, 73, 74, 75
99, 100, 101, 102
haben schon mal jeweils eine Zahl, die durch 4 teilbar ist,
eine die durch 9 teilbar ist und eine die durch 25 teilbar ist.
(Eine Folge mit der Zahl 50 gibt es nicht, weil die nächsten Vielfachen von 9 weder bei 47 bis 50 noch bei 50 bis 53 dabei sind.)
Abgesehen von solchen gelegentlichen Lücken gibt es unendlich viele solcher Folgen. Da sollte es doch mit dem Teufel zugehen, wenn da nicht auch mal eine durch 49 teilbare Zahl dabei ist.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 17.04.2012 | | Autor: | teo |
Ok danke für die Antworten, aber die Aufgabe wurde im Examen gestellt und es war bestimmt nicht beabsichtigt, das per try and error zu lösen. Was im übrigen mit Taschenrechner nach einigen Versuchen doch recht mühsam und ergebnislos war. Hat also jemand einen anderen Vorschlag?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Di 17.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Ok danke für die Antworten, aber die Aufgabe wurde im
> Examen gestellt und es war bestimmt nicht beabsichtigt, das
> per try and error zu lösen. Was im übrigen mit
> Taschenrechner nach einigen Versuchen doch recht mühsam
> und ergebnislos war. Hat also jemand einen anderen
> Vorschlag?
>
> Vielen Dank
Wieso try and error?
Das sollte ein Impuls sein, die Geschichte jetzt mal zielgerichtet in Angriff zu nehmen und die Lücke zu schließen.
Es ist auf alle Fälle nicht zielführend, die durch 25 teilbare Zahl auf 00 enden zu lassen, denn dann wäre das auch gleichzeitig die durch 4 teilbare Zahl.
Nehmen wir doch einfach eine durch 25 teilbare Zahl, die auch auf _25 endet. Die Zahl davor endet dann auf _24 und ist somit durch 4 teilbar.
Jetzt sucht man sich alle Zahlen aus, die auf _26 enden und (beispielsweise) durch 9 teilbar sind. Die erste Zahl dieser Art ist (wegen ihrer Quersumme) 126. Allerdings ist beispielweise der Nachfolger 127 nicht durch 49 teilbar. Wir suchen nun so lange nach durch 9 teilbaren Zahlen _26, bis wir eine finden, deren Nachfolger _27 durch 49 teilbar ist.
Wenn 126 durch 9 teilbar ist, dann sind auch 126 + 900, 126 + 1800, 126+2700 usw. durch 9 teilbar (und enden immer auf 26).
All diese Zahlen lassen sich als 126+k*900 darstellen.
Der Nachfolger davon hat die Form 127+k*900, und du musst k ganz einfach so bestimmen, dass dieser Term den Rest 0 bei Teilung durch 49 lässt.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Di 17.04.2012 | | Autor: | teo |
entschuldigung, dass ich net kapiert hab auf was du hinaus wolltest.. ich werd mich morgen dran versuchen danke für die hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Mi 18.04.2012 | | Autor: | teo |
Danke nochmal für die Hilfe. Die Lösung ist.
n hat die Form n = 124 + (12 + k*49) 900 mit k [mm] \in \IN, [/mm] dann gilt
4|n, 25|n+1, 9|n+2 und 49|n+3
Vielen Dank
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