Teilbarkeitsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Di 22.11.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle n [mm] \in [/mm] N gilt:
[mm] (a)6^{2n-1} [/mm] +1 ist durch 7 teilbar
[mm] (b)10^n [/mm] + 18n -28 ist durch 27 teilbar |
Also ich habe gedacht, dass es wahrscheinlich mit der vollständigen Induktion zu lösen sein wird. Aber ich komme im Induktionsschluss auf keine Lösung.
(a)
[mm] 7|6^{2n-1} [/mm] +1
Induktionsanfang: n=1 => 7|7 und ist wahr
Induktionsvorr.: für ein beliebiges, festes n gelte [mm] 7|6^{2n-1} [/mm] +1
Induktionsbehauptung: dann ist zu zeigen, dass auch [mm] 7|6^{2n-1+1} [/mm] +1
gilt.
Induktionsschluss:
Also ich habe jetzt [mm] 7|6^{2n} [/mm] +1 und 7|6{2n-1} +1
Kann mir jemand helfen weiter zu kommen?
Gruß
Andy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Di 22.11.2011 | | Autor: | moody |
Hallo,
du hast dein $n+1$ falsch eingesetzt.
$n: [mm] 6^{2n - 1}$
[/mm]
$n+1: [mm] 6^{2(n+1) - 1} [/mm] = [mm] 6^{2n+2 - 1}$
[/mm]
lg moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Di 22.11.2011 | | Autor: | Catman |
Ja danke, stimmt. Komme aber trotzdem nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Di 22.11.2011 | | Autor: | moody |
> Ja danke, stimmt. Komme aber trotzdem nicht weiter...
Also soweit sah dein Ansatz doch gut aus.
Du hast ja jetzt folgendes:
[mm] 6^{2n+1} [/mm] + 1
und du nimmst ja an dass [mm] 6^{2n-1} [/mm] + 1 durch 7 teilbar ist.
Jetzt könntest du ja daher gehen und das so umformen dass du [mm] 6^{2n-1} [/mm] + 1 da stehen hast.
[mm] 6^{2n+1} [/mm] + 1 = [mm] 6^{2n-1} [/mm] * [mm] 6^2 [/mm] + 1
Soweit klar? Und jetzt willst du ja stehen haben [mm] $6^{2n-1} [/mm] + 1 + ?$
Du darfst ja 0 addieren, also könntest du ja (nur als Beispiel jetzt) +16 -16 dazu schreiben.
Wenn du das geschickt machst und ein wenig ausklammerst kriegst du eine Form in der alles mit Sicherheit durch 7 teilbar ist.
lg moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 Di 22.11.2011 | | Autor: | Catman |
Also wie man auf die Form [mm] 6^{2n-1} [/mm] * 36 + 1 ist klar. Aber dann weiß ich nicht wie ich die Induktionsvorraussetzung und die Behauptung miteinander verbinden soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Di 22.11.2011 | | Autor: | moody |
> Also wie man auf die Form [mm]6^{2n-1}[/mm] * 36 + 1 ist klar. Aber
> dann weiß ich nicht wie ich die Induktionsvorraussetzung
> und die Behauptung miteinander verbinden soll.
Na wie ich gesagt habe, du musst jetzt soweit umformen dass du deine Induktionsvorrestzung da stehen hast, und dann kannst du ja annehmen dass dieser Term (eben lt. Vorrs.) durch 7 teilbar ist.
$ [mm] 6^{2n+1} [/mm] $ + 1 = $ [mm] 6^{2n-1} [/mm] $ * $ [mm] 6^2 [/mm] $ + 1
$= 36 * [mm] 6^{2n-1} [/mm] + 1 $
Du möchtest ja unter anderem $( [mm] 6^{2n-1} [/mm] + 1) $dortstehen haben
Du kannst ja so auf den ersten Blick $( [mm] 6^{2n-1} [/mm] + 1) $ nicht ausklammern, mit was müsste die 1 denn multipliziert werden damit das geht? Du kannst ja zu der 1 beliebig dazu addieren, wenn du auch direkt wieder abziehst. Und vielleicht ist ja dieser Rest den abziehst auch durch 7 teilbar 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:00 Di 22.11.2011 | | Autor: | Catman |
Ich habe jetzt doch etwas geschafft. Also wenn ich die Vorraussetzung auch mit 36 erweiter, dann steht da [mm] 6^{2n-1} [/mm] *36 +36 = 252a
und das eingesetzt in die Behauptung ergibt:
[mm] 6^{2n-1} [/mm] *36 +1 = 35 +252 a = 7(5+ 36a) ist durch 7 teilbar.
Darf ich das machen und ist das richtig???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Di 22.11.2011 | | Autor: | moody |
> Ich habe jetzt doch etwas geschafft. Also wenn ich die
> Vorraussetzung auch mit 36 erweiter, dann steht da [mm]6^{2n-1}[/mm]
> *36 +36 = 252a
Bleiben wir mal bei deine Induktionsschluss,
Dieser hat ja die Form [mm] $6^{2n-1} [/mm] * 36 + 1$
Du hast richtig erkannt,
[mm] $6^{2n-1} [/mm] * 36 + 36 * 1$
eignet sich gut zum Ausklammern. Aber du kannst ja nicht nur die rechte Seite und die 1 mit 36 multiplizieren, nach deiner Rechnung müsstest du auch die 36 die bereits von deiner Klammer steht nochmal damit multiplizieren.
Du musst den Standard-Trick "0 addieren anwendem.
Die Form kannst du nämlich auch dadurch erreichen
[mm] $6^{2n-1} [/mm] * 36 + 36 * 1$
Wenn du 35 addierst, hast du ja 1 + 35 = 36 = 36 *1
Nun musst du nur noch die 35 abziehen und die 35 ist glücklicherweise durch 7 teilbar womit du schon fast am Ende bist
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:10 Di 22.11.2011 | | Autor: | Catman |
Also wenn ich dann einfach schreibe
[mm] 6^{2n-1} [/mm] *36 + 1 = [mm] 6^{2n-1} [/mm] *36 + 1 +35 - 35 = [mm] 36(6^{2n-1}+1) [/mm] -35
Dann ist das bewiesen, weil laut Vorr. [mm] 6^{2n-1} [/mm] durch 7 teilbar ist, dann ein vielfaches davon auch durch 7 teilbar ist und die 35 ja auch durch 7 teilbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Di 22.11.2011 | | Autor: | moody |
> Also wenn ich dann einfach schreibe
>
> [mm]6^{2n-1}[/mm] *36 + 1 = [mm]6^{2n-1}[/mm] *36 + 1 +35 - 35 =
> [mm]36(6^{2n-1}+1)[/mm] -35
> Dann ist das bewiesen, weil laut Vorr. [mm]6^{2n-1}[/mm] durch 7
> teilbar ist, dann ein vielfaches davon auch durch 7 teilbar
> ist und die 35 ja auch durch 7 teilbar ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du kannst es jetzt noch etwas schöner schreiben (so haben wir das immer gemacht):
[mm] $36(6^{2n-1}+1) [/mm] -35 = 36*7k - 35 = (36k-5)*7$
[mm] $6^{2n-1}+1 [/mm] = 7k$
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:15 Di 22.11.2011 | | Autor: | Catman |
Die Schreibweise kann ich wieder nicht wirklich nachvollziehen. Aber auf jeden Fall vielen Dank. Hast mir echt geholfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Di 22.11.2011 | | Autor: | moody |
> Die Schreibweise kann ich wieder nicht wirklich
> nachvollziehen. Aber auf jeden Fall vielen Dank. Hast mir
> echt geholfen.
Gerne :)
Noch kurz zur Schreibweise:
Nach Vorraussetzung ist doch$ [mm] 6^{2n-1} [/mm] +1$ durch 7 teilbar,
dann kannst du doch dafür auch schreiben 7k, denn 7*k ist auch durch 7 teilbar.
Sind ja beides wahre Aussagen. Beziehungsweise, der detaillierte Schritt wäre:
[mm] $\bruch{6^{2n-1} +1}{7} [/mm] = k$
also ist
[mm] $6^{2n-1} [/mm] +1 = 7k$
Ist soweit ich weiß einfach nur ne Formsache / Schönheitskorrektur, du kannst natürlich auch wenn du da Schluss machst wo du schluss gemacht hast aufhören und eine kleine Begründung schreiben, aber so kannst du dir das schenken. Ich kenne ja deinen Prof nicht, bei uns war das so das Schema.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:23 Di 22.11.2011 | | Autor: | Catman |
Danke für die Erläuterung. Dann probier ich jetzt mal die 2. Aufgabe von denen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:33 Di 22.11.2011 | | Autor: | Catman |
Also ich denke ich habe die b jetzt auch korrekt gelöst. Könntest du nochmal schauen ob das stimmt?
(b) [mm] 10^n [/mm] + 18n -28 teilt 27
Ind. beh. ist ja dann [mm] 10^n [/mm] *10 + 18n + 18 -28
dann erweitert [mm] 10^n*10 [/mm] + 180 n - 280 +270 - 162 n
= [mm] 10(10^n [/mm] +18n -28) +270 - 162 n
Vorraussetzung 270 ist teilbar und 162 auch, damit bewiesen.... richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Di 22.11.2011 | | Autor: | moody |
> = [mm]10(10^n[/mm] +18n -28) +270 - 162 n
> Vorraussetzung 270 ist teilbar und 162 auch, damit
> bewiesen.... richtig?
Sehr gut! Wenn ich da so drüber gucke sieht das für mich richtig aus
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