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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo zusammen,
ich habe keine Frage zu einem konkreten Beweis sondern frage mich, ob es einen bestimmten Satz gibt. Seien a,b,c [mm] \in\IN
[/mm]
Und zwar, wenn ich weiß, dass a|b und c|b , kann ich dann sagen, in welchem Fall ich ac|b folgern darf?
Mir klingt plausibel, dass ich das bei Primzahlen machen kann, wegen der Primfaktorzerlegung
Bsp: 3|90 und 5|90 => 15|90
kann man das jetzt irgendwie als Satz fassen. Reicht es zum beispiel aus, dass a und c teilerfremd sind? Oder müssen es Primzahlen sein?
Vielleicht kennt jemand solch eines Satz, der dies aussagt?
Viele Grüße
Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
ich kenne dazu konkret keinen Satz, aber man kann sich das recht leicht überlegen.
In deinem Beispiel 3|90, 5|90 [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 3*5=15|90 kannst du diesen Schluss ziehe, weil 5|(90/3)=30 und genauso gilt auch 3|(90/5)=18.
Also gilt ganz allgemein, dass du aus a|b und c|b schließen kannst , dass ac|b, wenn c|(b/a) oder a|(b/c).
War es das was du meintest?
Viele Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ich weiß es nicht genau.
Ich dachte eher an sowas wie: Wenn ggT(a,c)=1 und a|b und c|b dann gilt auch ac|b
Aber anscheinend gibt es den Satz nicht? Aber ich fände ihn logisch :)
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Huhu,
den Satz gibt es nicht, weil du ihn recht schnell selbst beweisen kannst.....
Versuch es doch einfach mal 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ähm, also es gibt jetzt nicht solch einen Satz, aber die Aussage ist wahr oder wie? Denn ein Gegenbeispiel finde ich nicht.
Könntest du mir einen Tipp geben, was ich für den Beweis brauche? Irgendein Trick oder Satz ? :)
Viele Grüße
Eva
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Guten Abend!
Das berühmte Feroleische Lemma ist einfach zu beweisen.
Aus a|c, b|c und (a,b)=1 folgt c=abd.
Jetzt Du.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Guten Abend!
>
> Das berühmte Feroleische Lemma ist einfach zu beweisen.
>
Yeah, ich habe ein eigenes Lemma :)
> Aus a|c, b|c und (a,b)=1 folgt c=abd.
>
Meinst du ggT(a,b)=1 ??? was ist nun d? wo kommt das her? wieso folgt das?
> Jetzt Du.
>
> Grüße
> reverend
>
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Hallo Ferolei,
> > Aus a|c, b|c und (a,b)=1 folgt c=abd.
>
> Meinst du ggT(a,b)=1 ???
Ja, das ist eine der üblichen Schreibweisen.
> was ist nun d? wo kommt das her?
> wieso folgt das?
c ist in Faktoren zu zerlegen. Da ggT(a,b)=1 ist, müssen a und b beide darin vorkommen. Aber weil das ja noch nicht alles sein muss, führen wir noch einen Faktor d ein, der beliebig ist. Er kann auch 1 sein, das wissen wir einfach nicht.
Jedenfalls ist c als Produkt gewiss so darstellbar. Ich habe dabei natürlich mindestens einen Schritt übersprungen. Wenn Du kleinschrittig vorgehen willst bzw. musst, dann folgere doch erstmal aus a|c etwas über die Faktorisierung von c.
Grüße
reverend
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Huhu,
als Hinweis dafür noch: Mach dir mal klar, was $a|c$ bedeutet.
Nämlich: Es existiert ein $k [mm] \in \IZ$, [/mm] so dass.....
Dann gilt ja auch weiterhin $b|c$, also [mm] $b|k*\ldots$
[/mm]
Nun anwenden, dass $(a,b) = ggT(a,b) = 1$ daraus folgt.... naja und dann stehts schon da 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Fr 24.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo,
danke für eure Hilfe. Vielleicht ist es schon wieder so einfach, dass es mir schwer vorkommt :)
Also a|c und b|c => Es existieren k,l [mm] \in\IZ [/mm] mit ak=c und bl=c
=> ak=bl , da ggT(a,b)=1 muss b|k bzw. a|l.
Da trivialerweise auch a|a, folgt mit Produktregel: ba|ka => ab|c (da ak=c)
Meint ihr das so? Oder klappt das so nicht?
Schöne Festtage
Liebe Grüße
Ferolei
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Huhu
> danke für eure Hilfe. Vielleicht ist es schon wieder so
> einfach, dass es mir schwer vorkommt :)
du hast es doch hinbekomen
> Also a|c und b|c => Es existieren k,l [mm]\in\IZ[/mm] mit ak=c und
> bl=c
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> => ak=bl , da ggT(a,b)=1 muss b|k bzw. a|l.
Genau das ist der Clou bei der Geschichte
> Da trivialerweise auch a|a, folgt mit Produktregel: ba|ka
> => ab|c (da ak=c)
genau.
> Meint ihr das so? Oder klappt das so nicht?
Doch das klappt so, du musst aber nicht immer beide Fälle betrachten, aber korrekt ist dein Beweis trotzdem.
"Schöner" weil übersichtlicher kann man es vielleicht so machen:
[mm] $(i)\quad [/mm] a|c [mm] \;\Rightarrow\; \exists\; k\in\IZ:\, [/mm] c = ak$
[mm] $(ii)\quad [/mm] b|c [mm] \;\overbrace{\Rightarrow}^{(i)}\; [/mm] b|ak [mm] \; \overbrace{\Rightarrow}^{(a,b)=1}\; [/mm] b|k [mm] \; \Rightarrow \; \exists\; l\in\IZ: \,k [/mm] = bl$
$(i) [mm] \wedge [/mm] (ii) [mm] \;\Rightarrow\quad \exists\; l\in\IZ:\, [/mm] c=abl$
[mm] $\gdw \; [/mm] ab|c$
Dir auch frohe Weihnachten!
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Fr 24.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Vielen lieben Dank !
Gruß, Ferolei
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Fr 24.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> den Satz gibt es nicht, weil du ihn recht schnell selbst
> beweisen kannst.....
ich glaube, ich hab das durchaus schon als Satz und/oder Lemma irgendwo gesehen.
Mittels Primfaktorzerlegung, oder Existenz eines kleinsten gemeinsamen Vielfachen und dessen Beziehung zum groessten gemeinsamen Teiler geht es zumindest sehr einfach.
LG Felix
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