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Hallöchen,
ich beginne gerade meine Vorlesungen in elementarer Zahlentheorie kleinschrittig aufzuarbeiten und bin an ein Problem bei einer Formulierung gestoßen.
Wir definieren die Assoziiertheit. Also
a,b [mm] \in [/mm] R heißen assoziiert wenn [mm] \bruch{a}{b} [/mm] in [mm] R^{\*}. [/mm] Dann schreiben wir a [mm] \sim [/mm] b mit [mm] \sim [/mm] ist Äquivalenzrelation.
Dadurch soll die Teilbarkeitsrelation absteigen zu [mm] R/\sim [/mm] = {{a [mm] \epsilon [/mm] | [mm] \epsilon \in R^{\*}}, [/mm] a [mm] \in [/mm] R}.
Ich verstehe nicht ganz was es bedeuten soll, dass die Teilbarkeitsrelation absteigt. Inwiefern denn? Kann mir das bitte jemand erklären?
LG Schmetterfee
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> Hallöchen,
moin
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> ich beginne gerade meine Vorlesungen in elementarer
> Zahlentheorie kleinschrittig aufzuarbeiten und bin an ein
> Problem bei einer Formulierung gestoßen.
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> Wir definieren die Assoziiertheit. Also
> a,b [mm]\in[/mm] R heißen assoziiert wenn [mm]\bruch{a}{b}[/mm] in [mm]R^{\*}.[/mm]
Ich nehme mal ein R ist ein kommutativer Ring?
Steht das wirklich so im Skript?
[mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] würde voraussetzen, dass b im Ring invertierbar ist, denn sonst könntest du nicht durch b teilen.
Assoziiertheit sollte besser so definiert werden:
$a,b [mm] \in [/mm] R$ heißen assoziiert, wenn es ein $e [mm] \in R^\*$ [/mm] gibt mit $a*e = b$
Also wenn du a mit einer Einheit multiplizierst dann kommt b raus.
An einem Beispiel: In [mm] $\IZ$ [/mm] sind die Einheiten gerade [mm] $\pm [/mm] 1$, somit sind jeweils $a$ und $-a$ assoziiert.
> Dann schreiben wir a [mm]\sim[/mm] b mit [mm]\sim[/mm] ist
> Äquivalenzrelation.
> Dadurch soll die Teilbarkeitsrelation absteigen zu [mm]R/\sim[/mm]
> = [mm] $\{\{a\epsilon |\epsilon \in R^{\*}\}, a \in R\}$.
[/mm]
>
> Ich verstehe nicht ganz was es bedeuten soll, dass die
> Teilbarkeitsrelation absteigt. Inwiefern denn? Kann mir das
> bitte jemand erklären?
Nehmen wir an wir haben Elemente [mm] $a_1, \cdots a_n$ [/mm] im Ring mit [mm] $a_2 [/mm] | [mm] a_1$, $a_3 [/mm] | [mm] a_2$, $a_4 [/mm] | [mm] a_3$, [/mm] etc.
Dann kannst du dies ja auch schreiben als:
[mm] $a_n [/mm] | [mm] \cdots [/mm] | [mm] a_2 [/mm] | [mm] a_1$
[/mm]
Ich nehme an was dort behauptet wird ist, dass bei solchen Ketten irgendwann Schluss ist, also wenn du immer weiter Teiler einer Zahl suchst wirst du irgendwann nur noch assoziierte Elemente finden.
Auch das mal an einem Beispiel:
Nehmen wir uns wieder [mm] $\IZ$ [/mm] und gucken uns mal die Zahl 100 an.
Dann gilt:
$50 | 100$, $10 | 50$, $5| 10$
und jetzt wirst du nur noch [mm] $\pm [/mm] 5$ als Teiler von 5 finden.
Ich nehme mal an das ganze soll auf Dinge wie Primfaktorzerlegung, euklidischer Algorithmus, etc. vorbereiten, denn in der elementaren Zahlentheorie spielen solche Dinge eine gewisse Rolle.
Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob das wirklich in jedem kommutativen Ring gilt, aber falls das so bei dir im Skript steht...
lg
Schadow
PS: Mach deine Mengenklammern bitte nach Möglichkeit immer im Mathemode, also
$\{ Menge \}$
sonst gibt es beim Zitieren einige Probleme.
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Hallöchen
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> Ich nehme mal ein R ist ein kommutativer Ring?
Oh ja ist er. das hatte ich vergessen zu erwähnen sorry.
> Steht das wirklich so im Skript?
Ja es steht wirklich so im Skript :-(
Danke jetzt habe ich verstanden was dieser Ausdruck meint^^
LG Schmetterfee
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