Teilchen im Potential < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Mi 14.01.2015 | | Autor: | Jonas123 |
| Aufgabe | Ein Teilchen bewege sich im zweidimensionalen Potential [mm] \phi(x,y) [/mm] = [mm] x\*y [/mm] auf einer
Kreisbahn mit der Bahnkurve r = (cos [mm] (\omega\*t), sin(\omega\*t)).
[/mm]
a) Bestimmen Sie [mm] d\phi/dt [/mm] entlang der Bahnkurve unter Verwendung der Kettenregel
durch [mm] \bruch{d\phi}{dt}=\bruch{d\phi}{dr}\*\bruch{dr}{dt}.
[/mm]
b) Geben Sie jetzt [mm] \phi(t) [/mm] an, in dem Sie x und y direkt einsetzen, und bestimmen
Sie dann [mm] d\phi/dt [/mm] erneut. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Lösung aus a).
c) Fertigen Sie eine Skizze von [mm] \phi(t) [/mm] und [mm] d\phi/dt [/mm] an. Begründen Sie anschaulich,
warum sich das Potential mit der doppelten Frequenz ändert |
Hallo erstmal,
ich muss folgende Aufgabe lösen, jedoch hänge ich ein wenig.
Hier meine Lösungsidee: (ich weiß nicht was die (1) hinter den Gleichungen soll und wie ich die wegbekomme. Sorry dafür)
zu a) Ableitung mit allgemeiner Kettenregel:
[mm] \begin{equation}
\frac { d }{ dt } \varphi \left( x\left( t \right) ,y\left( t \right) \right) =\frac { \partial \varphi }{ \partial x } \cdot \frac { dx }{ dt } +\frac { \partial \varphi }{ \partial y } \cdot \frac { dy }{ dt }
\end{equation}
[/mm]
Für die einzelnen Ableitungen ergibt sich:
[mm] \begin{equation}
\frac { \partial \varphi }{ \partial x } =-\sin { \left( \omega \cdot t \right) \cdot \omega } \cdot \sin { \left( \omega \cdot t \right) }
\end{equation}
[/mm]
[mm] \begin{equation}
\frac { \partial x }{ \partial t } =-\sin { \left( \omega \cdot t \right) \cdot \omega }
\end{equation}
[/mm]
[mm] \begin{equation}
\frac { \partial \varphi }{ \partial y } =\cos { \left( \omega \cdot t \right) \cdot \omega } \cdot \cos { \left( \omega \cdot t \right) }
\end{equation}
[/mm]
[mm] \begin{equation}
\frac { \partial y }{ \partial t } =\cos { \left( \omega \cdot t \right) \cdot \omega }
\end{equation}
[/mm]
Zusammengefasst ergibt dies:
[mm] \begin{equation}
\frac { \partial \varphi }{ \partial t } ={ \left( \sin { \left( \omega \cdot t \right) } \right) }^{ 3 }\cdot { \omega }^{ 2 }+{ \left( \cos { \left( \omega \cdot t \right) } \right) }^{ 3 }\cdot { \omega }^{ 2 }
\end{equation}
[/mm]
zu b)
[mm] \begin{equation}
\varphi \left( t \right) =\cos { \left( \omega \cdot t \right) } \cdot \sin { \left( \omega \cdot t \right) }
\end{equation}
[/mm]
Bestimmung der Ableitung mit der 'einfachen' Kettenregel:
[mm] \begin{equation}
\frac { d\varphi }{ dt } =\frac { d\left( \cos { \left( \omega \cdot t \right) } \cdot \sin { \left( \omega \cdot t \right) } \right) }{ dt }
\end{equation}
[/mm]
Ergebnis:
[mm] \begin{equation}
\frac { d\varphi }{ dt } =\omega \cdot { \left( \cos { \left( \omega \cdot t \right) } \right) }^{ 2 }-\omega \cdot { \left( \sin { \left( \omega \cdot t \right) } \right) }^{ 2 }
\end{equation}
[/mm]
Vergleich: Die beiden Ergebnisse unterscheiden sich.
zu c) Ich könnte jetzt zwar meine beiden Ergebnisse plotten, doch nützt mir das nicht wirklich viel, da ich daraus kaum etwas begründen kann.
Zu meiner Frage/Bitte:
Könnt ihr bitte überprüfen ob meine beiden Ableitungen stimmen? Die Formel bei a) hat unser Prof. in der Vorlesung eingeführt.
Bei c) wäre eine kleine Idee echt toll, denn momentan habe ich überhaupt keine Idee dafür.
Ich bedanke mich schon mal bei allen die sich meine Frage anschauen und einen Tipp geben.
Grüße
Jonas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mi 14.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \frac{d\phi}{dx}=y [/mm] wie du auf dein [mm] \frac{d\phi}{dx} [/mm] kommst versteh ich nicht.
Ausserdem du sollst [mm] \frac{d\phi}{dr}=(\frac{d\phi}{dx},\frac{d\phi}{dy} [/mm] )ausrechnen und mit dem Vektor [mm] \frac{dr}{dt}
[/mm]
multiplizieren im ersten Teil, der 2 te ist richtig,
wenn du die Additionstheoreme verwendest, hast du [mm] \Phi=1/2*sin(2*\omega*t) [/mm] entsprechend bei [mm] \frac{d\phi}{dt}
[/mm]
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Do 15.01.2015 | | Autor: | Jonas123 |
| Aufgabe | Ein Teilchen bewege sich im zweidimensionalen Potential [mm] \phi(x,y) [/mm] = [mm] x\*y [/mm] auf einer
Kreisbahn mit der Bahnkurve r = (cos [mm] (\omega\*t), sin(\omega\*t)). [/mm]
a) Bestimmen Sie [mm] d\phi/dt [/mm] entlang der Bahnkurve unter Verwendung der Kettenregel
durch [mm] \bruch{d\phi}{dt}=\bruch{d\phi}{dr}\*\bruch{dr}{dt}. [/mm]
b) Geben Sie jetzt [mm] \phi(t) [/mm] an, in dem Sie x und y direkt einsetzen, und bestimmen
Sie dann [mm] d\phi/dt [/mm] erneut. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Lösung aus a).
c) Fertigen Sie eine Skizze von [mm] \phi(t) [/mm] und [mm] d\phi/dt [/mm] an. Begründen Sie anschaulich,
warum sich das Potential mit der doppelten Frequenz ändert |
Vielen Dank leduart, dass du dir die Zeit genommen hast meine Frage zu beantworten.
Ich habe da irgendwie einen Denkfehler reingebaut. Aber dank dir habe ichs jetzt verstanden.
Ich erhalte dann als Ergebnis bei b) das gleiche wie bei c), was ja auch logisch ist.
Wie du schon vorgemacht hast erhalte ich mit dem Additionstheorem folgendes:
[mm] \begin{equation}
\varphi \left( t \right) =\frac { 1 }{ 2 } \cdot \sin { \left( 2\cdot \omega \cdot t \right) }
\end{equation}
[/mm]
[mm] \begin{equation}
\frac { d\varphi }{ dt } =\omega \cdot \cos { \left( 2\cdot \omega \cdot t \right) }
\end{equation}
[/mm]
Nun soll ich die beiden Graphen skizzieren. Habe das mit Geogebra gemacht und erhalte folgendes Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich weiß, dass [mm] \(\omega =2\pi \cdot f\) [/mm] ist. Wenn ich f verdoppele, verdoppele ich auch [mm] \omega. [/mm] Dies bedeutet, dass der Graph in x-Richtung gestaucht und die Ableitung in y-Richtung gestreckt wird.
Nur was sagt mir das jetzt über das Potential aus?
Ich könnte sagen, dass [mm] \varphi(t) [/mm] und [mm] d\varphi/dt [/mm] um [mm] \pi/2 [/mm] Phasenverschoben sind. Nur das hat doch nichts mit dem Potential zu tun, oder!?
Könntet ihr mir hier bitte einen Tipp geben auf was ich achten muss, bzw. auf was es ankommt.
Vielen Dank
Jonas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Do 15.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Nur was sagt mir das jetzt über das Potential aus?
> Ich könnte sagen, dass $ [mm] \varphi(t) [/mm] $ und $ [mm] d\varphi/dt [/mm] $ um $ [mm] \pi/2 [/mm] $ Phasenverschoben sind. Nur das hat doch nichts mit dem Potential zu tun, oder!?
Ich vermute, dass mit der Aufgabe gemeint ist, dass Du erklären sollst warum im Potential der Term [mm] $2\omega$ [/mm] steht, wo doch in r(t) nur [mm] $\omega$ [/mm] steht. Dazu sollst Du versuchen möglichst anschaulich zu beschreiben, wie das Produkt x*y dies bewirkt. Betrachte dazu die Nullstellen und Vorzeichen von Sinus und Kosinus einzeln und dann, wie sich das für das Produkt auswirkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Do 15.01.2015 | | Autor: | Jonas123 |
Vielen Dank für deine Hilfe.
Die Aufgabe sollte jetzt relativ klar sein, auch wenn bei d) nicht wirklich klar gesagt ist was man machen soll.
Aber trotzdem nochmals Danke
Jonas
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