Teiler einer Quadratzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Mo 02.06.2008 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | | Begründen Sie, warum genau die Quadrate natürlicher Zahlen eine ungerade Anzahl von Teilern in [mm] \IN [/mm] haben. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum einer anderen Internetseite gestellt.
Hallo,
ich brauch ein bisschen Hilfe bei dieser Aufgabe.
Aufgefallen ist mir bereits folgendes:
Hier an einem Beispiel (habe es auch mit anderen Zahlen überprüft):
[mm] 6^2 [/mm] = 36
36 = [mm] 2^2 \* 3^2
[/mm]
Addiere ich jeweils zu den Exponenten 1 und nehme diese Mal:
[mm] (2+1)\*(2+1) [/mm] = 9
habe ich die Anzahl der Teiler:
36 hat 9 gemeinsame Teiler
An dieser Stelle hänge ich jetzt aber da ich das nicht damit in Zusammenhang bringen kann, dass JEDE Quadratzahl einer natürlichen Zahl eine ungerade Anzahl von Teilern hat.
Für ein Denkanstoss/Tipp wäre ich sehr dankbar 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mo 02.06.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Nina!
> Begründen Sie, warum genau die Quadrate natürlicher Zahlen
> eine ungerade Anzahl von Teilern in [mm]\IN[/mm] haben.
> Aufgefallen ist mir bereits folgendes:
> Hier an einem Beispiel (habe es auch mit anderen Zahlen
> überprüft):
>
> [mm]6^2[/mm] = 36
> 36 = [mm]2^2 \* 3^2[/mm]
>
> Addiere ich jeweils zu den Exponenten 1 und nehme diese
> Mal:
> [mm](2+1)\*(2+1)[/mm] = 9
> habe ich die Anzahl der Teiler:
> 36 hat 9 gemeinsame Teiler
Anscheinend weißt du, wie man die Anzahl der Teiler aus der Primfaktorzerlegung berechnen kann. Jetzt überleg einfach mal, wie bei einer Quadratzahl die Primfaktorzerlegung (genauer die Exponenten derselben) aussieht. Das ist ein Lösungsweg.
Ansonsten gehört zum Teiler a von n der 2. Teiler n/a. Also kann man die Teiler zu Paaren zusammenfassen. Aber was passiert, wenn n eine Quadratzahl ist?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mo 02.06.2008 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | | Begründen Sie, warum genau die Quadrate natürlicher Zahlen eine ungerade Anzahl von Teilern /IN haben. |
Vielen Dank erstmal für deine Antwort.
Ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe also:
Zerlege ich eine Quadratzahl in ihre Primfaktoren ist der Exponent dieser immer gerade. Da ich diesen aber +1 rechne wird er ungerade. Und wenn ich zwei (oder mehre) ungerade zahlen miteinander multipliziere ist auch das Ergebnis ungerade. Daher haben Quadratzahlen immer eine ungerade Anzahl von Teilern.
Die zweite Begründung ist, dass eine Zahl n mit dem Teiler a auch den Teiler n/a hat. So entstehen immer Paare. Mache ich das aber mit einer Quadratzahl habe ich einmal zwei gleiche Zahlen raus.
Z.B. bei 36 käme die 6 zweimal vor, also fehlt hier eine Zahl für ein Paar und die Anzahl der Teiler wird ungerade.
Ich hoffe das ist so richtig. Wenn ja dann bräuchte ich noch Hilfe dabei, wie ich das korreckt aufschreiben kann...denn so wie oben kann ich das ja nicht abgeben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mo 02.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die zweite Begründung ist die korrekte.
hast du eine Zahl n, die keine Quadratzahl ist, hast du immer ein "Teilerpaar". Bei den Quadratzahlen ist ein Paar zu einer Zahl zusammengeschrumpft.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Peter_Pein |
Pardon, wenn ich mich da einmische....
So weit ist das alles OK. Vergiss aber bitte nicht, dass du zeigen sollst, dass "genau die Quadratzahlen" eine ungerade Anzahl Teiler haben.
Bisher habt ihr n ist Quadrat => n hat ungerade Anzahl Teiler. Es fehlt umgekehrt: n hat ungerade Anzahl Teiler => n ist Quadratzahl.
Wenn das Argument der Teilerpaare, von denen bei QZ eines nur eine Zahl ist, mit Äquivalenzen statt Implikationen ausformuliert wird, sollte alles im grünen Bereich sein.
pingelige Grüße 
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mo 02.06.2008 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | | Begründen Sie, warum genau die Quadrate natürlicher Zahlen eine ungerade Anzahl von Teilern in haben. |
Ok,
aber was ist denn an der ersten Begründung falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mo 02.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast geschrieben:
> Zerlege ich eine Quadratzahl in ihre Primfaktoren ist der Exponent dieser immer gerade. Da ich diesen aber +1 rechne wird er ungerade.
> Und wenn ich zwei (oder mehre) ungerade zahlen miteinander multipliziere > ist auch das Ergebnis ungerade. Daher haben Quadratzahlen immer eine ungerade Anzahl von Teilern.
Zerlege ich eine Quadratzahl in ihre Primfaktoren ist der Exponent dieser immer gerade.
Da ich diesen aber +1 rechne wird er ungerade.
Wozu addierst du da +1? Was bezweckst du damit?
Und wenn ich zwei (oder mehre) ungerade zahlen miteinander multipliziere ist auch das Ergebnis ungerade. Daher haben Quadratzahlen immer eine ungerade Anzahl von Teilern.
Die weiteren Schlüsse sind okay.
Marius
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