Teileranzahl < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ich soll beweisen, dass die Teileranzahl-Funktion [mm] $\tau [/mm] (n)$ multiplikativ ist, also dass gilt:
[mm] $\tau [/mm] (a*b) = [mm] \tau [/mm] (a) * [mm] \tau [/mm] (b)$, falls $ggt(a,b) =1$
Also eine formale Defnition von [mm] $\tau$ [/mm] wäre:
[mm] $\tau [/mm] (n) = [mm] \summe_{d|n} [/mm] 1$
Ich habe nun gefunden, dass gelten muss:
[mm]\tau (a*b) = \summe_{d|a*b} 1 = \frac{\summe_{d|a} 1*\summe_{d|b} 1}{\summe_{d|a \wedge d|b} 1} = \frac{\summe_{d|a} 1*\summe_{d|b} 1}{1} = \tau (a) * \tau (b)[/mm]
Für die Teilersummenfunktion $F (n) = [mm] \summe_{d|n} [/mm] d$, die ebenfalls multiplikativ ist, gilt nämlich das Gleiche...
Kann man das irgendwie beweisen?
Gruß Micha 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 So 30.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Micha!
Es seien [mm] $a,b\in \IN$ [/mm] mit [mm] $a=\prod_{i=1}^{n_a} p_{i}^{\mu_i}, b=\prod_{i=1}^{n_b} p'_{i}^{\lambda_i}$. [/mm] Dann macht man sich leicht klar, dass
[mm] $\tau (a)=\prod_{i=1}^{n_a} (\mu_i+1), \tau(b)=\prod_{i=1}^{n_b} (\lambda_i+1)$ [/mm] gilt. Genau dann sind nun $a,b$ teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Primteiler enthalten. Dann sind die [mm] $p_i,p'_j, i\in [n_a], j\in [n_b]$ [/mm] paarweise verschieden und wir erhalten fast ohne weiteres zutun [mm] $\tau(a)\tau(b)=\prod_{i=1}^{n_a} (\mu_i+1)\prod_{i=1}^{n_b} (\lambda_i+1)=\tau(ab)$, [/mm] denn die [mm] $p_i,p'_j$ [/mm] sind die verschiedene Primfaktoren mit den Potenzen [mm] $\mu_i$ [/mm] bzw. [mm] $\lambda_j$ [/mm] in $ab$.
Für die Teilersummenfunktion läuft der Hase genau so, du musst nur bemerken, dass [mm] $F(a)=\prod_{i=1}^{n_a} \summe_{j=0}^{\mu_i} p_i^j$. [/mm] In dieser Darstellung ist der Beweis genau so trivial wie der für die Multiplikativität von [mm] $\tau$.
[/mm]
Das ganze sollte im übrigen für jeden faktoriellen Ring gelten.
Liebe Grüße,
Hanno
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