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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Sa 20.11.2004 | | Autor: | maria |
Hallo!!!
Ich habe ein Problem mit folgendem Beweis:
Drei Punkte [mm] a,b,c\in\IR^n (a\not=b) [/mm] einer Geraden seien gegeben. Dann gibt es Zahlen [mm] \alpha,\beta\in\IR, [/mm] so dass [mm] \alpha a+\beta [/mm] b=c mit [mm] \alpha+\beta=1 [/mm] und es ist [mm] -(\beta/\alpha)=TV(A,B,C) [/mm] sowie [mm] -(\alpha/\beta)=TV(B,A,C).
[/mm]
Meiner Überlegungen sind folgende: Die Gleichung [mm] \alpha+\beta=1 [/mm] kann ich nach [mm] \alpha [/mm] umstellen und in die Gleichung [mm] \alpha a+\beta [/mm] b=c einsetzen. Danach kann ich [mm] \alpha [/mm] bzw. [mm] \beta [/mm] in Abhängigkeit von a,b und c berechnen. Bei dem Teilerverhältnis kenne ich die Regel: x-a= Tau*(x-b) und Tau= TV(a,b,x). So, wenn ich für a,b und c Zahlen einsetze klappt ja alles ganz gut, aber wie gehe einen Beweis an? Kann mir jemand einen Tip geben??
TV...Teilerverhältnis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 Mo 22.11.2004 | | Autor: | maria |
Hallo!! Weiß denn keiner einen Ansatz? Hatt nicht jemand einen winzigen Tip für mich? :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo maria,
> Drei Punkte [mm]a,b,c\in\IR^n (a\not=b)[/mm] einer Geraden seien
> gegeben. Dann gibt es Zahlen [mm]\alpha,\beta\in\IR,[/mm] so dass
> [mm]\alpha a+\beta[/mm] b=c mit [mm]\alpha+\beta=1[/mm] und es ist
Hier wäre noch interessant, was für Euch eine Gerade ist, wie ihr eine Gerade definiert habt.
Mit dieser Definition
[mm] $\vec{x}=\vec{s}+r*\vec{u}$, $r\in\IR$
[/mm]
ist es ganz einfach:
[mm] $\vec{a},\vec{b}$ [/mm] liegen auf der Gerade, dann müßtest du noch zeigen, dass es auch diese Darstellung der Gerade g gibt (das dürfte nicht schwierig sein):
[mm] $\vec{x}=\vec{a}+r*(\vec{b}-\vec{a})$, $r\in\IR$
[/mm]
Damit haben wir aber auch
[mm] $\vec{c}=\vec{a}+r*(\vec{b}-\vec{a})$, $r\in\IR$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\vec{c}=\underbrace{(1-r)}_{=:\alpha}*\vec{a}+\underbrace{r}_{=:\beta}*\vec{b}$, $r\in\IR$
[/mm]
> [mm]-(\beta/\alpha)=TV(A,B,C)[/mm] sowie
> [mm]-(\alpha/\beta)=TV(B,A,C).
[/mm]
Hier können wir ja schon die oben bewiesene Gleichung benutzen:
Deine Definition des TV war [mm] $x-a=\tau*(x-b)$ [/mm] und [mm] $\tau=TV(a,b,x)$:
[/mm]
Nun setze ich einfach [mm] $\tau=-\bruch{\beta}{\alpha}$ [/mm] ein:
[mm] $c-a=\tau*(c-b)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $c-a=-\bruch{\beta}{\alpha}*(c-b)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\alpha*(c-a)=-\beta*(c-b)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\alpha*(\alpha*a+\beta*b-a)=-\beta*(\alpha*a+\beta*b-b)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\alpha^2*a+\alpha*\beta*b-\alpha*a=-\beta*\alpha*a-\beta^2*b+\beta*b$
[/mm]
Nun ist ja [mm] $\beta=1-\alpha$:
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\alpha^2*a+\alpha*(1-\alpha)*b-\alpha*a=-(1-\alpha)*\alpha*a-(1-\alpha)^2*b+(1-\alpha)*b$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\alpha^2*a+\alpha*b-\alpha^2*b-\alpha*a=\alpha^2*a-\alpha*a -(1-2\alpha+\alpha^2)*b+b-\alpha*b$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\alpha^2*a+\alpha*b-\alpha^2*b-\alpha*a=\alpha^2*a-\alpha*a -b+2\alpha*b-\alpha^2*b+b-\alpha*b$
[/mm]
Das sieht ziemlich gleich aus... 
> Meiner Überlegungen sind folgende: Die Gleichung
> [mm]\alpha+\beta=1[/mm] kann ich nach [mm]\alpha[/mm] umstellen und in die
> Gleichung [mm]\alpha a+\beta[/mm] b=c einsetzen. Danach kann ich
> [mm]\alpha[/mm] bzw. [mm]\beta[/mm] in Abhängigkeit von a,b und c berechnen.
Ja, wenn man [mm] $\alpha=1-\beta$ [/mm] in die Gleichung [mm] $\alpha a+\beta [/mm] b=c$ einsetzt, steht ja schon eine Geradengleichung da.
Das "Unschöne" an diesem Weg ist aber, dass das [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] ja schon bekannt sein müssen, es ist also genau die falsche Richtung.
> Bei dem Teilerverhältnis kenne ich die Regel: x-a=
> Tau*(x-b) und Tau= TV(a,b,x). So, wenn ich für a,b und c
> Zahlen
Nur zur Sicherheit: a,b und c sind nicht unbedingt Zahlen, sondern allgemeiner Vektoren.
> einsetze klappt ja alles ganz gut, aber wie gehe
> einen Beweis an? Kann mir jemand einen Tip geben??
Für das TV gab es oben ja kaum noch etwas zu zeigen, man mußte nur nachrechnen (denn das TV ist ja eindeutig bestimmt und jedes [mm] $\tau$, [/mm] dass die Gleichung erfüllt, muss ein TV sein).
Ist es ein bisschen klarer geworden?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Do 25.11.2004 | | Autor: | Kryzefix |
Irre ich mich,oder hast du in der Zeile über dem Smile einen Fehler drin.auf der linken Seite hast du 4 Faktoren,auf der rechten sinds 5 (2Alphaa zuviel).Wie können dann beide Ausdrücke gleich sein?
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