www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenInduktionsbeweiseTeilerzahl Induktionsbeweise
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Induktionsbeweise" - Teilerzahl Induktionsbeweise
Teilerzahl Induktionsbeweise < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Induktionsbeweise"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Teilerzahl Induktionsbeweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:17 Mo 17.05.2010
Autor: kushkush

Aufgabe
Beweise mit vollständiger Induktion: [mm] $9^{n}+15$ [/mm] ist für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] durch $24$ teilbar.

hallo,


wie geht man solche "Teilbarkeits"-Beweise überhaupt an?


Also

IA: [mm] 9^{1}+15=24 [/mm] 24 ist teilbar durch 24.

[mm] 9^{n+1}+15 [/mm]

Dann muss ich das irgendwie auf etwas zurückführen was durch 24 teilbar ist und dann ist der Beweis fertig?



Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.

        
Bezug
Teilerzahl Induktionsbeweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:06 Mo 17.05.2010
Autor: angela.h.b.


> Beweise mit vollständiger Induktion: [mm]9^{n}+15[/mm] ist für
> alle [mm]n\in \IN[/mm] durch [mm]24[/mm] teilbar.
>  hallo,
>  
>
> wie geht man solche "Teilbarkeits"-Beweise überhaupt an?

Hallo,

ich formuliere mir für Teilbarkeit die Aussage immer etwas für mich griffiger um:

Behauptung: für jedes [mm] n\in \IN [/mm] findest man ein passendes [mm] k\in \IN [/mm] so, daß  [mm]9^{n}+15[/mm] =24k.

>  
>
> Also
>  
> IA: [mm]9^{1}+15=24[/mm] 24 ist teilbar durch 24.
>
> [mm]9^{n+1}+15[/mm]
>
> Dann muss ich das irgendwie auf etwas zurückführen was
> durch 24 teilbar ist und dann ist der Beweis fertig?

Ja.

Wir machen das jetzt ausführlich.
Nach dem Induktionsanfang notiert man die Induktionsvoraussetzung.

Induktionsvoraussetzung:
für ein [mm] n\in \IN [/mm] findet man ein [mm] k\in \IN [/mm] mit
[mm]9^{n}+15[/mm] =24k

Es folgt der Induktionsschluß, in welchem unter der eben gemachten Voraussetzung zu zeigen ist, daß die Behauptung dann auch für die darauffolgende natürliche Zahl, also für n+1, gilt.

Induktionsschluß:

zu zeigen: dann gibt es auch zu n+1 eine [mm] k'\in \IN [/mm] mit [mm]9^{(n+1)}+15[/mm] =24k'

Beweis: [mm]9^{(n+1)}+15[/mm] = [mm] 9*\green{9^n} [/mm] + 15 = ...

Für [mm] 9^n [/mm] kannst Du hier die Induktionsvoraussetzung umformen und einsetzen.
Dann das Erhaltene in die Form 24* (eine natürliche Zahl) bringen.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Teilerzahl Induktionsbeweise: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:36 Mo 17.05.2010
Autor: kushkush

Hallo angela.h.b.,


ich komme auf die Form:


[mm] $9^{n+1}+5\cdot24 [/mm] +15 = [mm] 24\cdot(9k)$ [/mm]


bin ich damit schon fertig?


dankesehr für die Anleitung!


Bezug
                        
Bezug
Teilerzahl Induktionsbeweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Mo 17.05.2010
Autor: angela.h.b.


> Hallo angela.h.b.,
>  
>
> ich komme auf die Form:
>
>
> [mm]9^{n+1}+5\cdot24 +15 = 24\cdot(9k)[/mm]

Hallo,

ich kann hieraus überhaupt nicht erkennen, was Du getan hast.

Ich müßte und möchte von  Dir mindestens den kompletten Induktionsschluß mit allen Rechnungen sehen -
am besten auch noch die Induktionsvoraussetzung.

Sei mal nicht so sparsam bei der Tipperei...

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Teilerzahl Induktionsbeweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Mo 17.05.2010
Autor: kushkush

Rechnungsweg:

Induktionsanfang: [mm] $9^{1}+15$ [/mm] ist teilbar durch $24$

Induktionsvoraussetzung: [mm] $9^{n}+15=24k$ [/mm]

Induktionsschluss:

[mm] $9^{n+1}+15=9\cdot 9^{n} [/mm] + 15$

[mm] $9^{n+1}+15 [/mm] = [mm] 9\cdot [/mm] (24k-15)+15$

[mm] $9^{n+1}+15= [/mm] 216k-135+15$

[mm] $9^{n+1}+5\cdot [/mm] 24 + 15 = 24 [mm] \cdot [/mm] 9k$





Bezug
                                        
Bezug
Teilerzahl Induktionsbeweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:02 Mo 17.05.2010
Autor: angela.h.b.


> Rechnungsweg:
>  
> Induktionsanfang: [mm]9^{1}+15[/mm] ist teilbar durch [mm]24[/mm]
>
> Induktionsvoraussetzung: [mm]9^{n}+15=24k[/mm]  für ein [mm] n\in \IN [/mm]
>
> Induktionsschluss:
>  
> [mm]9^{n+1}+15=9\cdot 9^{n} + 15[/mm]
>  
> = [mm] 9\cdot [/mm] (24k-15)+15[/mm]
>  
> =216k-135+15[/mm]

Hallo,

bis hierher ist's i.O.
Aber schreib es doch als schöne Gleichungskette auf und nicht immer [mm] 9^{n+1}+15 [/mm] vorne dran.

Und nun geht's so weiter:

[mm] 9^{n+1}-15= [/mm] ... = 216k-135+15 =216k - 120= 24*(9k -5).

Damit ist [mm] 9^{n+1}-15 [/mm] ein Vielfaches von 24, also teilbar durch 24.

Gruß v. Angela

>  
> [mm]9^{n+1}+5\cdot 24 + 15 = 24 \cdot 9k[/mm]


>  
>
>
>  


Bezug
        
Bezug
Teilerzahl Induktionsbeweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 Mo 17.05.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

für den Induktionsschluss kannst du alternativ auch so vorgehen:

Benutzt werden:

(1) [mm] $a\mid b\Rightarrow a\mid m\cdot{}b$ [/mm] für [mm] $m\in\IN$ [/mm]

(2) [mm] $a\mid b\wedge a\mid c\Rightarrow a\mid(b-c)$ [/mm]

Nach IV gilt: [mm] $24\mid\left(9^n+15\right)$ [/mm]

Damit auch nach (1): [mm] $24\mid\left(9\cdot{}\left(9^n+15\right)\right)=\left(9^{n+1}+135\right)=\left(\left(9^{n+1}+15\right)+120\right)$ [/mm]

Mit [mm] $24\mid\left(\left(9^{n+1}+15\right)+120\right)$ [/mm] und [mm] $24\mid [/mm] 120$ teilt es auch die Differenz nach (2), also [mm] $24\mid\left(9^{n+1}+15\right)$ [/mm]

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Teilerzahl Induktionsbeweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:33 Mo 17.05.2010
Autor: kushkush

ok,



Danke angela.h.b. und schachuzipus!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Induktionsbeweise"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]