Teilfolge Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Di 12.06.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_n) [/mm] mit n in IN (ohne 0) die Teilfolge der natürlichen zahlen, die nicht die Ziffer 9 enthalten. Zeige, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/a_n [/mm] konvergiert. |
Also es gibt 8 Zahlen mit 1 Stelle, die nicht die Ziffer 9 enthalten
Es gibt 72 Zahlen mit 2 Stellen, die nicht die Ziffer 9 enthalten
Es gibt 8*9*9 Zahlen mit 3 Stellen, ....
Vermutung: [mm] a_n [/mm] = [mm] 8*9^n, [/mm] entsprechend [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/a_n [/mm] =
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{8*9^n}. [/mm]
Stimmt das?
Jetzt muss ich noch zeigen, dass diese Reihe konvergiert. Wie mache ich das am besten? Wurzelkriterium?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Di 12.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](a_n)[/mm] mit n in IN (ohne 0) die Teilfolge der
> natürlichen zahlen, die nicht die Ziffer 9 enthalten.
> Zeige, dass die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 1/a_n[/mm]
> konvergiert.
> Also es gibt 8 Zahlen mit 1 Stelle, die nicht die Ziffer 9
> enthalten
> Es gibt 72 Zahlen mit 2 Stellen, die nicht die Ziffer 9
> enthalten
> Es gibt 8*9*9 Zahlen mit 3 Stellen, ....
>
> Vermutung: [mm]a_n[/mm] = [mm]8*9^n,[/mm] entsprechend [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 1/a_n[/mm]
> =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{8*9^n}.[/mm]
>
> Stimmt das?
Nein. Die Folge [mm] a_n=10^n [/mm] erfüllt obige Vor.
FRED
>
> Jetzt muss ich noch zeigen, dass diese Reihe konvergiert.
> Wie mache ich das am besten? Wurzelkriterium?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Di 12.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Könntest du das bitte erklären? Es gibt doch z.B. mit einer Stelle die zahlen 1,2,3,4,5,6,7,8 , die die Bedingung erfüllen, also insgesamt 8 Zahlen mit 1 Stelle. Aber [mm] 10^1 [/mm] = 10 ungleich 8... (die natürlichen zahlen fangen hier bei 1 an).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Di 12.06.2012 | | Autor: | fred97 |
[mm] (a_n) [/mm] soll doch eine Teilfolge der natürlichen Zahlen sein, mit der Eigenschaft:
für jedes n gilt: [mm] a_n [/mm] enthält nicht die Ziffer 9.
Du hast vermutet: $ [mm] a_n [/mm] $ = $ [mm] 8\cdot{}9^n, [/mm] $.
Dem hab ich widersprochen, denn es gibt viele Folgen, die das Verlangte leisten.
Ich hab genannt: [mm] a_n= 10^n.
[/mm]
Ist [mm] (a_n) [/mm] eine Teilfolge der natürlichen Zahlen ? Ja !
Enthält ein [mm] a_n [/mm] die Ziffer 9 ? Nein !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Di 12.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Achso, wäre dann meine Folge auch ok?
Ich habe mich am Hinweis orientiert, den wir bekommen hatten: ,,Überlege, wie viele zahlen mit i Stellen es gibt, die nicht die ziffer 9 enthalten''
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Hallo rollroll,
die Aufgabe ist wohl nicht ganz perfekt formuliert. Das Wort "alle" hätte nicht geschadet, denn das ist wohl gemeint: [mm] a_n [/mm] sei die Folge aller natürlichen Zahlen, die nicht die Ziffer 9 enthalten.
Dann stimmt Deine Ermittlung der Anzahl solcher Zahlen mit n Stellen vom Ansatz her. Es gibt [mm] 8*9^{n-1} [/mm] Zahlen mit n Stellen, die keine 9 enthalten (wir reden hier natürlich nur von der Dezimaldarstellung, was die Aufgabe auch nicht erwähnt  ).
Nun sollst Du aber die Kehrwerte der Folgenglieder addieren, nicht nur ihre Anzahl. Deine Abschätzung kannst Du aber trotzdem gut für die Bestimmung einer Majorante verwenden.
Die Summe aller 1-stelligen Zahlen ohne 9 (und ohne Null) ist sicher kleiner als [mm] 8*\tfrac{1}{1}, [/mm] die Summe aller 2-stelligen... sicher kleiner als [mm] 8*9*\tfrac{1}{10}, [/mm] die Summe aller n-stelligen sicher kleiner als [mm] 8*9^{n-1}*\tfrac{1}{10^{n-1}}.
[/mm]
Also ist die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}8*\left(\bruch{9}{10}\right)^{n-1}=8*\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{9}{10}\right)^n [/mm] eine Majorante.
Alles klar?
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Di 12.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Also ist die teilfolge aller natürlichen zahlen, die die 9 nicht enthalten: [mm] a_n [/mm] = [mm] 8*9n^{n-1} [/mm] mit n [mm] \in [/mm] IN. Und dann wäre [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/a_n [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{8*9^{n-1}}. [/mm] Hab ich das soweit richtig verstanden? Und dann muss ich zeigen, dass diese reihe konvergiert. Könntest du das mit der Majorante nochmal erklären? Also wie man damit die Konvergenz nachweist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Di 12.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwas machst du falsch! [mm] a_7=7. a_8=8 a_9=10... a_{17}=18 [/mm] a_18=20 usw
du verwechselst die Anzahl der Zahlen bis n mit den Zahlen
also denkst du an eine völlig falsche Folge lies nochmal reverends post.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Di 12.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, also gibt diese folge nur die Anzahl der Zahlen an. Wie lautet denn die folge für die Zahlen/ Folgenglieder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Di 12.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab dir doch die ersten paar hingeschrieben, ein allgemeines ist [mm] a_k=1234567777 [/mm] ein anderes wie schon fred schrieb [mm] 10^n, [/mm] wieder ein anderes [mm] 2^{77}
[/mm]
die richtige Folge gibt NICHT die Anzahl der Zahlen an.
hast du reverends post eigentlich mal 10 Min. - oder länger überlegt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Di 12.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Ja, ich habe die Antwort durchgelesen! ich verstehe ja, dass die Folge, die ich angegeben hatte, die Anzahl angibt. Die Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] 10^n [/mm] ist eine Teilfolge der natürlichen zahlen, die nicht die Ziffer 9 enthält. Also muss ich zeigen, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/10^n [/mm] konvergiert. So ok?
Und laut reverends Antwort kann ich die Reihe die die Anzahl angibt als Majorante verwenden, wenn ich das richtig verstanden habe. Also verwende ich $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}8\cdot{}\left(\bruch{9}{10}\right)^{n-1}=8\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{9}{10}\right)^n [/mm] $ als Majorante. Soll ich dann mit dieser majorante die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/10^n [/mm] nachweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Di 12.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Ja, ich habe die Antwort durchgelesen! ich verstehe ja,
> dass die Folge, die ich angegeben hatte, die Anzahl angibt.
> Die Folge [mm]a_n[/mm] = [mm]10^n[/mm] ist eine Teilfolge der natürlichen
> zahlen, die nicht die Ziffer 9 enthält. Also muss ich
> zeigen, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 1/10^n[/mm] konvergiert. So
> ok?
> Und laut reverends Antwort kann ich die Reihe die die
> Anzahl angibt als Majorante verwenden, wenn ich das richtig
> verstanden habe. Also verwende ich
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}8\cdot{}\left(\bruch{9}{10}\right)^{n-1}=8\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{9}{10}\right)^n[/mm]
> als Majorante. Soll ich dann mit dieser majorante die
> Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 1/10^n[/mm]
> nachweisen?
Wenn du für die Majorante deiner Reihe gezeigt hast, dass diese konvergiert, konvergiert deine Reihe laut Majorantwenkriterium ebenso.
Sagt dir die geometrische Reihe etwas?
(hab die anderen Posts nur überflogen ... also keine Garantie auf Richtigkeit)
Grüße, Ali
Ps. Sollte ne Antwort und keine Frage werden, sorry, schon spät.. ^^
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Hallo nochmal,
> Ja, ich habe die Antwort durchgelesen! ich verstehe ja,
> dass die Folge, die ich angegeben hatte, die Anzahl angibt.
> Die Folge [mm]a_n[/mm] = [mm]10^n[/mm] ist eine Teilfolge der natürlichen
> zahlen, die nicht die Ziffer 9 enthält. Also muss ich
> zeigen, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 1/10^n[/mm] konvergiert. So
> ok?
Nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Und laut reverends Antwort kann ich die Reihe die die
> Anzahl angibt als Majorante verwenden, wenn ich das richtig
> verstanden habe.
Nein.
> Also verwende ich
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}8\cdot{}\left(\bruch{9}{10}\right)^{n-1}=8\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{9}{10}\right)^n[/mm]
> als Majorante. Soll ich dann mit dieser majorante die
> Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 1/10^n[/mm]
> nachweisen?
Nein.
Diese Konvergenz sollte ohne Abschätzung offensichtlich sein, und darum geht es schlicht nicht.
Schreib doch einfach mal die ersten 82-83 Glieder der von Dir zu untersuchenden Reihe auf. So viel ist das auch nicht, etwa 3 Zeilen auf einem A4-Blatt. Ab da kannst Du ein paar Auslassungspunkte setzen und vielleicht noch ein paar weitere 3-stellige und 4-stellige [mm] a_n [/mm] mit einbeziehen.
Das fängt so an:
[mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{10}+\bruch{1}{11}+\bruch{1}{12}+\bruch{1}{13}+\bruch{1}{14}+\bruch{1}{15}+\bruch{1}{16}+\bruch{1}{17}+ [/mm] etc.
Dann solltest Du Dir noch klar machen, warum z.B. [mm] \bruch{1}{6}\le\bruch{1}{1} [/mm] und [mm] \bruch{1}{23}\le\bruch{1}{10} [/mm] ist.
Und danach überleg Dir mal, wie die 648 dreistelligen Dezimalzahlen ohne 9 in meiner Abschätzung auftauchen.
Der Witz der Aufgabe ist Dir hoffentlich von Anfang an klar. Ist Dir bekannt, dass die harmonische Reihe divergent ist? Spannend ist hier doch, dass man nur eine anscheinend kleine Zahl von Gliedern dieser Reihe streicht und die verbleibende Reihe auf einmal konvergent sein soll. Kann das denn stimmen? Es geht jedenfalls erst einmal gegen jede gesunde Intuition.
Zugleich hieße das nämlich, dass für [mm] b_n [/mm] als Folge aller natürlichen Zahlen, deren Dezimaldarstellung eine 9 beinhaltet (offenbar ja viel weniger als [mm] a_n), [/mm] die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{b_n} [/mm] divergent ist.
Wie kann das denn sein?
Aber lös doch erstmal die Aufgabe, die Du hier lösen sollst. In meinem ersten Post steht alles, was Du dazu brauchst.
Grüße
reverend
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