Teilfolge von linearen Abb. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Sa 26.03.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo Forum
Mich beschäftigt folgende Frage: Nehmen wir, dass $\ [mm] (A_m)_{m \in \IN} [/mm] $ eine Folge von stetig linearen Abbildungen zwischen dem vollständigen Raum $\ X $ und dem Raum $\ Y $. Die Folge konvergiere punktweise gegen ein $\ A:X [mm] \to [/mm] Y $. Nun konkret zu meiner Frage:
Aus der punktweise Konvergenz kann ich ja schliessen, dass $\ [mm] \parallel{A_mx}\parallel [/mm] $ beschränkt ist für alle $\ x [mm] \in [/mm] X $. Banach Steinhaus gibt mir nun:
[mm] \sup_m{\parallel{A_m}\parallel} < \infty [/mm]
Wie üblich definiert man nun
[mm] Ax:=\limes_{m\rightarrow\infty} A_mx [/mm]
Linearität von A ist mir klar.
Wieso kann ich eine Teilfolge $\ [mm] A_{m_{k}} [/mm] $ wählen, so dass $\ [mm] \parallel{A_{m_{k}}} \parallel \to \limes_{m\rightarrow\infty}\inf{\parallel{A_m}\parallel} [/mm] $ für $\ k [mm] \to \infty$ [/mm] ? Die Normen sind jeweils in der entsprechenden Operator Norm oder des jeweiligen normierten Raumes genommen.
Eine zweite Frage die sich mir stellt ist folgende:
Kann ich aus dem Resultat von Banach-Steinhaus auch schliessen, dass
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\inf{\parallel{A_m}\parallel} < \infty [/mm]? Wenn ja wieso genau?
Danke und ein schönes Wochenende
Gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 So 27.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Antworten auf Deine Fragen liefert der Satz von Bolzano - Weierstraß, denn wegen
$ [mm] \sup_m{\parallel{A_m}\parallel} [/mm] < [mm] \infty [/mm] $
ist [mm] (\parallel{A_m}\parallel [/mm] ) eine beschränkte reelle Zahlenfolge.
FRED
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