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Hallo Matheraum...
ich habe mal eine Frage an euch, ob ich das Prinzip der Teilfolgen richtig verstanden habe...
Gegeben sei beispielsweise eine Folge [mm] (\vec x_k)_{k \in \IN}=(x_{1},...,x_{k}), [/mm] wobei nun [mm] (\vec x_k)=(\bruch{(-1)^k}{k})
[/mm]
Diese Folge ist bekanntlich nicht konvergent
Indem ich nun gewisse Folgenglieder aussondere, erhalte ich konvergente Teilfogen...
z.B. wähle ich [mm] (\vec x_{2k})=(x_2,x_4,x_6,...)=(\bruch{1}{2},\bruch{1}{4},\bruch{1}{6}) [/mm] usw....
Somit ergibt sich [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(\vec x_{2k})=\infty
[/mm]
Ich habe nun eine Aufgabe, in der es darum geht, eine Folge [mm] (\vek x_k) [/mm] im [mm] \IR^3 [/mm] zu finden, welche KEINE konvergente Teilfolge besitzt...
Ich hätte mich demnach entschieden für folgende Folge [mm] (\vec x_k) [/mm] im [mm] \IR^3:
[/mm]
[mm] (\vec x_k)=(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k^2},\bruch{1}{k^3})
[/mm]
Es handelt sich somit um eine konvergente Folge (Komponentenweise Konvergenz), da [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{k})=0, \limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{k^2})=0, \limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{k^3})=0. [/mm] Aber die Folge besitzt keine konvergente Teilfolge...
Richtig so???
mfg dodo4ever
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> Hallo Matheraum...
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> ich habe mal eine Frage an euch, ob ich das Prinzip der
> Teilfolgen richtig verstanden habe...
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> Gegeben sei beispielsweise eine Folge [mm](\vec x_k)_{k \in \IN}=(x_{1},...,x_{k}),[/mm]
> wobei nun [mm](\vec x_k)=(\bruch{(-1)^k}{k})[/mm]
>
> Diese Folge ist bekanntlich nicht konvergent
>
> Indem ich nun gewisse Folgenglieder aussondere, erhalte ich
> konvergente Teilfogen...
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> z.B. wähle ich [mm](\vec x_{2k})=(x_2,x_4,x_6,...)=(\bruch{1}{2},\bruch{1}{4},\bruch{1}{6})[/mm]
> usw....
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> Somit ergibt sich [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(\vec x_{2k})=\infty[/mm]
Die Teilfolge ist konvergent, aber der Grenzwert ist 0.
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> Ich habe nun eine Aufgabe, in der es darum geht, eine Folge
> [mm](\vek x_k)[/mm] im [mm]\IR^3[/mm] zu finden, welche KEINE konvergente
> Teilfolge besitzt...
>
> Ich hätte mich demnach entschieden für folgende Folge
> [mm](\vec x_k)[/mm] im [mm]\IR^3:[/mm]
>
> [mm](\vec x_k)=(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k^2},\bruch{1}{k^3})[/mm]
>
> Es handelt sich somit um eine konvergente Folge
> (Komponentenweise Konvergenz), da
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{k})=0, \limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{k^2})=0, \limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{k^3})=0.[/mm]
> Aber die Folge besitzt keine konvergente Teilfolge...
>
> Richtig so???
Nein. Wenn die Folge selbst konvergent ist, so konvergiert auch jede Teilfolge gegen den selben Grenzwert.
Die gesuchte Folge darf also selbst schonmal keinen Grenzwert haben.
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> mfg dodo4ever
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Okay... Das wusste ich nicht.
Also muss ich eine Folge [mm] (\vec x_k)_{k \in \IN} [/mm] im [mm] \IR^3 [/mm] finden, für welche die Komponentenweise Konvergenz nicht gilt...
Wie wäre es dann mit [mm] (\vec {x_k})=(\bruch{1}{k},1-\bruch{1}{k},k)
[/mm]
Ich hätte ich ja den Fall, dass diese Folge nicht konvergent ist, da die Komponentenfolgen nicht gegen den gleichen Grenzwert konvergieren...
mfg dodo4ever
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> Okay... Das wusste ich nicht.
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> Also muss ich eine Folge [mm](\vec x_k)_{k \in \IN}[/mm] im [mm]\IR^3[/mm]
> finden, für welche die Komponentenweise Konvergenz nicht
> gilt...
>
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> Wie wäre es dann mit [mm](\vec {x_k})=(\bruch{1}{k},1-\bruch{1}{k},k)[/mm]
>
> Ich hätte ich ja den Fall, dass diese Folge nicht
> konvergent ist, da die Komponentenfolgen nicht gegen den
> gleichen Grenzwert konvergieren...
>
> mfg dodo4ever
Ob die Komponentenfolgen gegen den gleichen oder gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren, spielt auch keine Rolle. Eine Folge im [mm] \IR^3 [/mm] kann auch gegen (1,2;3) konvergieren.
In deinem Beispiel ist aber die 3. Komponente divergent ("Grenzwert" unendlich sollte hier nicht als Konvergenz zählen) und hat auch keine konvergente Teilfolge. Daher ist das Beispiel ok, wobei es auf die ersten beiden Komponenten gar nicht ankommt.
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Hallo und danke für deine Hilfe...
Hättest du denn ein anderes Beispiel für eine Folge [mm] (\vec x_k) [/mm] im [mm] \IR^3, [/mm] welche keine konvergente Teilfolge besitzt???
Ich hatte zuerst an sinus oder cosinus gedacht. Aber die haben doch ebenfalls konvergente Teilfolgen oder nicht...
Entweder verstehe ich das doch nicht so richtig oder die Anzahl der Folgen welche diese Bedingung erfüllen ist begrenzt...
thank's mfg dodo4ever
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> Hallo und danke für deine Hilfe...
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> Hättest du denn ein anderes Beispiel für eine Folge [mm](\vec x_k)[/mm]
> im [mm]\IR^3,[/mm] welche keine konvergente Teilfolge besitzt???
>
> Ich hatte zuerst an sinus oder cosinus gedacht. Aber die
> haben doch ebenfalls konvergente Teilfolgen oder nicht...
>
> Entweder verstehe ich das doch nicht so richtig oder die
> Anzahl der Folgen welche diese Bedingung erfüllen ist
> begrenzt...
>
> thank's mfg dodo4ever
Es gibt einen Satz, dass jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge hat, daher wäre es mit sin und cos nichts geworden.
Aber wenn die Folgenglieder nach unendlich streben, gibt es keine konvergenten Teilfolgen. Dabei ist die Situation im [mm] \IR^3 [/mm] auch nicht grundsätzlich anders als in [mm] \IR.
[/mm]
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Hallo das leuchtet mir leider noch nicht so ganz ein...
Ich komme nochmal zu meiner Folge zurück:
[mm] (\vec {x_k})=(\bruch{1}{k},1-\bruch{1}{k},k)
[/mm]
Es handelt sich bei [mm] \bruch{1}{k} [/mm] und [mm] 1-\bruch{1}{k} [/mm] ja um beschränkte Folgen. Demnach besitzen sie auch eine konvergente Teilfolge.
k allerdings ist nicht beschränkt, sondern erstreckt sich in ganz [mm] \R^3. [/mm] Demnach besitzt sie auch keine konvergente Teilfolge.
Wieso reicht es nun aus, dass nur k keine konvergente Teilfolge besitzt? Müssten nicht alle keine konvergente Teilfolge besitzen?
Irgendwie versteh ich das grad garnicht... Hatte gedacht das kapiert zu haben...
mfg dodo4ever
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Eine Folge im [mm] \IR^3 [/mm] ist konvergent, wenn alle 3 Komponenten konvergieren. Das gleiche gilt dann natürlich auch für Teilfolgen. Im Beispiel ist bei jeder Teilfolge die 3. Komponente divergent, es gibt also keine (in allen 3 Komponenten) konvergente Teilfolge.
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